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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - affine Abbildung
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affine Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Mo 11.07.2011
Autor: Nadia..

Aufgabe
Hallo zusammen

Man beweise, dass es genau eine affine Abbildung f : A2(R) → A2(R) gibt, die die Punkte
der x-Achse (d. h. die Punkte (x, 0)T mit x ∈ R) um den Vektor (1, 0)T verschiebt und
den Punkt (0, 1) nach (0,−1) abbildet. Man bestimme die Menge der Fixpunkte von f.

Bin mir ganz unsicher bei meiner Vorgehensweise.

Beweis :

Sei [mm] $p_0,p_1 \in A_2(R)$, [/mm] affine Basis von [mm] $A_2(R)$, [/mm]
man kann ja [mm] $p_0 [/mm] = (x,0)$ und [mm] $p_1=(0,1)$ [/mm] wählen.
Nach einem Satz, gibt es dann genau eine affine Abbildung [mm] $f(p_i)=q_i, [/mm] i =1,2$.

Nun zu der Matrix von $f
[mm] A\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x+1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A= [mm] \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} [/mm]
$

Für Fixpunkte erhalte ich $A(x)+b=x [mm] \iff [/mm] (A-E)(x)=-b [mm] \Rightarrow \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] das entspricht [mm] $\phi$ [/mm]
Ich bekomme dann am ende keine Fixpunkte raus, was habe ich falsch gemacht ?


Leibe Grüße


Nadia..

        
Bezug
affine Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:56 Di 12.07.2011
Autor: angela.h.b.


> Hallo zusammen
>  
> Man beweise, dass es genau eine affine Abbildung f : A2(R)
> → A2(R) gibt, die die Punkte
>  der x-Achse (d. h. die Punkte (x, 0)T mit x ∈ R) um den
> Vektor (1, 0)T verschiebt und
>  den Punkt (0, 1) nach (0,−1) abbildet. Man bestimme die
> Menge der Fixpunkte von f.
>  Bin mir ganz unsicher bei meiner Vorgehensweise.
>  
> Beweis :
>  
> Sei [mm]p_1,p_2 \in A_2(R)[/mm], affine Basis von [mm]A_2(R)[/mm],

Hallo,

affine Basen von zweidimensionalen affinen Räumen bestehen aus drei Vektoren.
Du kannst den Vektor [mm] p_0=(0,0) [/mm] hinzufügen.

>  man kann ja [mm]p_1 = (x,0)[/mm] und [mm]p_2=(0,1)[/mm] wählen.

Du brauchst schon ein konkretes [mm] p_1. [/mm] Nimm [mm] p_1=(1,0). [/mm]

>  Nach einem Satz, gibt es dann genau eine affine Abbildung
> [mm]f(p_i)=q_i, i =1,2[/mm].

Ich kenne mich mit diesen affinen Sachen nicht sooooo gut aus, aber stand da nicht "i=0,1,2"?

>
> Nun zu der Matrix von $f
> [mm]A\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} x+1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} =\Rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] A= [mm]\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> $

So sieht meine Matrix auch aus.

Dein Rechenweg ist mir allerdings etwas verdächtig.
Woher nimmst Du die Sicherheit, daß b wirklich der Vektor (1, 0 ) ist?

(Wenn Du mit der richtigen Basis rechnest, wird sich alles geschmeidig ergeben.)

>  
> Für Fixpunkte erhalte ich [mm]A(x)+b=x \iff (A-E)(x)=-b \Rightarrow \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> das entspricht [mm]\phi[/mm]
>  Ich bekomme dann am ende keine Fixpunkte raus, was habe
> ich falsch gemacht ?

Bei mir gibt's auch keine Fixpunkte.
Daß es eine Fixgerade gibt, könnte man zeigen - ist aber anscheinend nicht gefragt.

Gruß v. Angela


>  
>
> Leibe Grüße
>  
>
> Nadia..


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