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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hallo
Ich sitze gera an meinen Aufgaben und bin am verzweifeln.
eine Affine Abbildung [mm] \gamma [/mm] : A [mm] \mapsto [/mm] A^´ ist genau dann injektiv bzw surjektiv, wenn dies die von ihr induzierte lineare Abbildung ist.
Man beweiste, dass die Bijektive affine Abbildung [mm] \gamma [/mm] : A [mm] \mapsto [/mm] A eine Gruppe Bildet.
Ich habe schon schwierigkeiten bei den Begriffen Injektiv und Surjektiv. Ich weiß zwar ungefähr was sie bedeuten aber ganz klar ist es mir nicht.
Und von einem Ansatz bin ich noch weit von entfernt glaube ich.
Danke für eure Hilfe
Michael
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Hallo!
> eine Affine Abbildung [mm]\gamma[/mm] : A [mm]\mapsto[/mm] A^´ ist genau
> dann injektiv bzw surjektiv, wenn dies die von ihr
> induzierte lineare Abbildung ist.
Sind $A,A^'$ ein Vektorräume oder Mengen?
Auf jeden Fall solltest die Aufgabe so angehen:
Sei [mm] $\gamma(a)=a_0+\phi(a)$, [/mm] wobei [mm] $\phi$ [/mm] eine lineare Abbildung ist.
[mm] [u]$\gamma$ [/mm] ist injektiv [mm] $\Leftrightarrow$ $\phi$ [/mm] ist injektiv[/u]
Sei zunächst [mm] $\gamma$ [/mm] injektiv. Das bedeutet: Für [mm] $a,b\in [/mm] A$, [mm] $a\ne [/mm] b$ folgt [mm] $\gamma(a)\ne\gamma(b)$.
[/mm]
Seien also [mm] $a,b\in [/mm] A$, [mm] $a\ne [/mm] b$. Dann ist [mm] $\phi(a)=\gamma(a)-a_0\ne \gamma(b)-a_0=\phi(b)$.
[/mm]
Sei nun [mm] $\phi$ [/mm] injektiv, [mm] $a,b\in [/mm] A$, [mm] $a\ne [/mm] b$. Dann ist [mm] $\gamma(a)=a_0+\phi(a)\ne a_0+\phi(b)=\gamma(b)$.
[/mm]
Ist dir das einigermaßen klar?
Die Surjektivität geht so ähnlich, nur dass hier gilt: Sei [mm] $a'\in [/mm] A'$. Dann gibt es ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $\gamma(a)=a'$...
[/mm]
> Man beweiste, dass die Bijektive affine Abbildung [mm]\gamma[/mm] :
> A [mm]\mapsto[/mm] A eine Gruppe Bildet.
Meinst du damit, dass die Menge der bijektiven affinen Abbildungen eine Gruppe bildet? Bezüglich welcher Operation? Eigentlich kommt hier nur die Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] in Frage, aber dazu müsste $A=A'$...
Gruß, banachella
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