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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - affine Isometrie
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affine Isometrie: Umkehrfunktion
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:55 Mo 10.12.2012
Autor: clemenum

Aufgabe
Betrachte den Kegel [mm] $K=\{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2-z^2=0\}$ [/mm] und eine affine Isometrie [mm] $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \phi(x,y)^T [/mm] = [mm] A(x,y)^T+b,$ [/mm] wobei [mm] $A\in M_{3\times 2} (\mathbb{R}),$ $A^{*}A [/mm] = [mm] I_2,$ [/mm] und [mm] $b\in \mathbb{R}^3.$ [/mm] Zeige, dass [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] eine Quadrik ist. Welche Quadriken in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] lassen sich in dieser Form darstellen, für eine geeignete Isometrie [mm] $\phi$? [/mm]

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich zeigen soll, dass die Umkehrabbildung eine Quadrik ist? Ich weiß was eine Quadrik ist aber in diesem Fall leuchtet mir nicht ein, wie ich das zeigen können soll!

        
Bezug
affine Isometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:17 Di 11.12.2012
Autor: hippias

SChreibe mal, wie ihr Quadrik definiert habt.

Bezug
                
Bezug
affine Isometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Di 11.12.2012
Autor: clemenum

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum
über einem Körper  $K$ mit Charakteristik, $char(K) = 2.$ Unter einer quadratischen Funktion auf $V$ verstehen wir jede Funktion, $Q: V [mm] \to \mathbb{K},$ [/mm] die sich in der Form $Q(v) = q(v) + l(v) + c$
schreiben lasst, wobei  $c [mm] \in \mathbb{K}, [/mm] l [mm] \in V^{*}$ [/mm]

und $q$ eine quadratische Form auf $V$ bezeichnet, d.h. $q(v) = b(v, v)$ fur eine (eindeutige) symmetrische Bilinearform $b$ auf $V$.

Danke für deine Hilfe! :-)

Bezug
                        
Bezug
affine Isometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:28 Mi 12.12.2012
Autor: hippias

Und was ist jetzt eine Quadrik?

Bezug
                                
Bezug
affine Isometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mi 12.12.2012
Autor: clemenum

Ohh, verzei bitte, war wohl wieder mal unkonzentriert...

Unter einer Quadrik verstehen wir eine Teilmenge $E$ von $C$, die sich in der Form [mm] $E=\{v\in V: Q(v)=0\}$ [/mm] schreiben lässt, wobei $Q$ eine quadratische Funktion auf $V$ beschreibt.

Bezug
                                        
Bezug
affine Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mi 12.12.2012
Autor: hippias

Um also [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] als Quadrik zu erkennen, benoetigst Du eine quadratische Funktion, dessen Nullstellenmenge genau [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] ist. Dazu ueberlege Dir, dass $K$ selber eine Quadrik ist und bestimme die zugehoerige quadratische Funktion $Q$. Versuche dann [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] durch [mm] $\phi$ [/mm] und $Q$ auzudruecken - dies duerfte durch Komposition moeglich sein. Dadurch sollte die quadratische Funktion, die [mm] $\phi^{-1}(K)$ [/mm] zur Quadrik macht erkennbar sein.

Bezug
        
Bezug
affine Isometrie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Fr 14.12.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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