affiner Unterraum (1) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:33 Mo 19.06.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Man entscheide, ob es zu jedem affinen Unterraum $S$ von [mm] $K^n$ [/mm] ein lineares Gleichungssystem [mm] $A*\vec{x}=\vec{b}$ [/mm] gibt, so dass $S$ die Lösungsmenge von [mm] $A*\vec{x}=\vec{b}$ [/mm] ist. |
Hallo.
Ich brauche bei dieser Aufgabe mal Eure Hilfe. Habe keine Ahnung wie das gehen soll, auch wenn ich glaube, dass es ansich nicht so schwer ist. Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
Vielen Dank!
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Hallo Ed,
ok, ich unterstelle aufgrund Deiner Frageformulierung, dass Ihr folgende Definition benutzt: Ein affiner Unterraum von [mm] K^n [/mm] ist eine Menge
[mm] U'\:\: =\:\: U+b=\{u+b|u\in U\}=\{u'\in K^n|u'-b\in U\}
[/mm]
für einen Untervektorraum U von [mm] K^n [/mm] und einen Vektor [mm] b\in K^n.
[/mm]
Zu zeigen: Es gibt eine Matrix A und einen Vektor c, so dass [mm] U'=\{x|A\cdot x=c\}
[/mm]
gilt.
Beweis: Wähle eine ONB (Orthonormalbasis) für [mm] K^n, [/mm] bestehend aus einer ONB für U [mm] y_1,\ldots [/mm] , [mm] y_j [/mm] und weiteren Vektoren [mm] y_{j+1},\ldots y_n.
[/mm]
Dann gilt [mm] x\in [/mm] U genau dann , wenn [mm] y_{j+1}^T\cdot x=\ldots [/mm] = [mm] y_n^T\cdot [/mm] x=0 gilt.
Schreib die [mm] y_{j+1}^T,\ldots y_n^T [/mm] als Zeilen einer Matrix A, dann ist also [mm] x\in [/mm] U' gdw [mm] A\cdot [/mm] (x-b)=0 und dies kannst Du in die verlangte Form bringen.
Gruss,
Mathias
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