algebraische Zahl < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Do 11.02.2010 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Ist die folgende Zahl algebraisch über [mm] \IQ? [/mm] Bestimme gegebenfalls das Minimalpolynom.
[mm] \wurzel{2}*\wurzel[3]{3} [/mm] |
Ich bin wie folgt vorgegangen:
[mm] (\wurzel{2}*\wurzel[3]{3})^6 [/mm] = 72.
Alsi ist [mm] x^6 [/mm] - 72 = 0 mit x = [mm] \wurzel{2}*\wurzel[3]{3}
[/mm]
[mm] \IQ(\wurzel{2}*\wurzel[3]{3}) [/mm] hat Dimension 6 über [mm] \IQ [/mm] (weiss ich aus einer früheren Übung).
Also folgt, dass das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{2}*\wurzel[3]{3} [/mm] in [mm] \IQ [/mm] Grad 6 haben muss. Also ist gerade [mm] x^6 [/mm] -72 das Minimalpolynom.
Da ein Minimalpolynom von [mm] \wurzel{2}*\wurzel[3]{3} [/mm] exisiert, folgt, dass [mm] \wurzel{2}*\wurzel[3]{3} [/mm] algebraisch ist über [mm] \IQ.
[/mm]
Stimmt das alles?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Do 11.02.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo johnny,
> Ist die folgende Zahl algebraisch über [mm]\IQ?[/mm] Bestimme
> gegebenfalls das Minimalpolynom.
>
> [mm]\wurzel{2}*\wurzel[3]{3}[/mm]
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> [mm](\wurzel{2}*\wurzel[3]{3})^6[/mm] = 72.
>
> Alsi ist [mm]x^6[/mm] - 72 = 0 mit x = [mm]\wurzel{2}*\wurzel[3]{3}[/mm]
Hieraus folgt schon, dass [mm] $\sqrt 2\sqrt[3]3$ [/mm] algebraisch über [mm] $\mathbb [/mm] Q$ ist.
> [mm]\IQ(\wurzel{2}*\wurzel[3]{3})[/mm] hat Dimension 6 über [mm]\IQ[/mm]
> (weiss ich aus einer früheren Übung).
>
> Also folgt, dass das Minimalpolynom von
> [mm]\wurzel{2}*\wurzel[3]{3}[/mm] in [mm]\IQ[/mm] Grad 6 haben muss. Also ist
> gerade [mm]x^6[/mm] -72 das Minimalpolynom.
>
> Da ein Minimalpolynom von [mm]\wurzel{2}*\wurzel[3]{3}[/mm]
> exisiert, folgt, dass [mm]\wurzel{2}*\wurzel[3]{3}[/mm] algebraisch
> ist über [mm]\IQ.[/mm]
>
> Stimmt das alles?
Ja, stimmt alles.
Lieben Gruß,
Fulla
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