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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Mi 09.05.2012 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass (1+5^(1/2))/2 eine algebraische Zahl ist. |
Hallo,
also nach meinen Überlegungen ist die genannte Zahl algebraisch, wenn sie sich als Nullstelle eines Polynoms darstellen lässt. Wobei die Koeffizienten im Polynom doch ganzzahlig sein müssen oder?
Und das klappt hier doch nicht oder?
Mein gefundenes Polynom: 2x-1-5^(1/2)
Danke schon mal für evtl Hilfen!
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Hallo pestaia,
kommt Dir die Zahl nicht bekannt vor?
> Zeigen Sie, dass (1+5^(1/2))/2 eine algebraische Zahl ist.
> Hallo,
> also nach meinen Überlegungen ist die genannte Zahl
> algebraisch, wenn sie sich als Nullstelle eines Polynoms
> darstellen lässt. Wobei die Koeffizienten im Polynom doch
> ganzzahlig sein müssen oder?
Wenn Du eins mit rationalen Koeffizienten findest, ist es auch gut. Das kann man ja leicht in eins mit ganzzahligen K. überführen.
> Und das klappt hier doch nicht oder?
Doch.
> Mein gefundenes Polynom: 2x-1-5^(1/2)
Das hat eben einen Koeffizienten, der weder ganzzahlig noch rational ist. Auf diesem Weg könntest Du ja für jede Zahl zeigen, dass sie algebraisch ist.
Da in der Zahl eine Wurzel vorkommt, würde ichs direkt mit einem Polynom zweiten Grades versuchen, also [mm] f(x)=x^2+ax+b
[/mm]
Das hat bekanntlich Lösungen [mm] x_{1/2}=-\bruch{a}{2}\pm\wurzel{\bruch{a^2}{4}-b}
[/mm]
Wenn Du Dir jetzt Deine Zahl anschaust, sieht die doch genau so aus. Man kann schonmal direkt a=-1 setzen und muss nur noch b so finden, dass [mm] a^2-4b=5 [/mm] ist.
> Danke schon mal für evtl Hilfen!
Übrigens heißt die Zahl [mm] \Phi [/mm] und bezeichnet den goldenen Schnitt, die größere der beiden Lösungen der Gleichung [mm] x=1+\bruch{1}{x}
[/mm]
Grüße
reverend
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. Eine der Lösungen des Polynoms [mm] x^2-x-1 [/mm] ist tatsächlich (1+5^(1/2))/2
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