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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 So 23.11.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | Finden Sie für die über [mm] \IQ [/mm] algebraischen Zahlen
[mm] \alpha [/mm] := [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] := [mm] \wurzel{3+\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] := [mm] \wurzel{2}*e^{2\pi i \bruch^{1}_{3}} [/mm] und
[mm] \delta [/mm] := [mm] 5^{\bruch^{1}_{3}} [/mm] + [mm] 5^{\bruch^{2}_{3}} [/mm]
unitäre Polynome in [mm] \IQ[x] [/mm] der Grade 4, 4, 4 und 3, die [mm] \alpha [/mm] bwz. [mm] \beta [/mm] bzw. [mm] \gamma [/mm] bzw. [mm] \delta [/mm] als Nullstellen haben. |
Hallo liebe Mathefreunde,
dies ist sicherlich eine recht einfache Rechenaufgabe ... aber leider weiß ich nicht wie ich sie lösen kann :-( *schnief*
Wie komme ich auf solche Polynome? Sollte ich irgendwie Potenzen ausrechnen?
Kann mir jemand einen Tipp geben?!? *help*
Wäre über jede Hilfestellung dankbar.
Liebe Grüße
Kittycat
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Am Beispiel der ersten Aufgabe:
Du weißt, dass Dein Polynom durch [mm] (x-(\wurzel{2}+\wurzel{3})) [/mm] teilbar ist. Kein schöner Term... Das Wurzelgemüse ist durch Multiplikation in Anwendung der 3. binomischen Formel schonmal zu vereinfachen:
[mm] (x-(\wurzel{2}+\wurzel{3}))(x+(\wurzel{2}+\wurzel{3}))=x^2-(\wurzel{2}+\wurzel{3})^2=x^2-(5+2\wurzel{6})
[/mm]
Das hilft ja nun auch nur begrenzt weiter. Der absolute Term ist immer noch ungemütlich. Versuch mal, [mm] x^2-5 [/mm] zu substituieren, entferne die verbleibende Wurzel durch eine weitere Multiplikation und resubstituiere. Du darfst beliebig Faktoren hinzufügen, aber wenn Du es schaffst, das mit möglichst wenig neuen Faktoren hinzubekommen, dann erreichst Du auch den geforderten Grad 4.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Mo 24.11.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo.
Cool ... Vielen Dank für deinen Tip.
Habs nun so weitergerechnet und folgendes erhalten:
Substitution: [mm] y=x^2 [/mm] -5
[mm] \Rightarrow [/mm] y - [mm] 2\wurzel{6}
[/mm]
Mit 3. binomischer Formel erhält man: [mm] y^2 [/mm] - 24
Resubstituierung: [mm] x^4 [/mm] - 10x + 1
Stimmt das so? Ist das nun mein unitäres Polynom vom Grad 4, das [mm] \alpha [/mm] als Nullstelle hat?
Liebe Grüße
Kittycat
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Ja, das isses.
Es wäre natürlich auch ohne Substitution gegangen, einfach die Klammern anders setzen, so dass der eine Term [mm] x^2-5 [/mm] und der andere der Wurzelterm ist.
Das geht bei den meisten Deiner Teilaufgaben ungefähr genauso, bei der e-Funktion musst Du Dir vielleicht noch andere Gedanken machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 24.11.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Reverend,
vielen ,vielen Dank für die gute Erklärung ... hab mich jetzt mal an die anderen Aufgaben gemacht.
Also mit [mm] \beta [/mm] war das ja noch ganz leicht, habe da folgendes raus:
[mm] x^4-6x^2+7
[/mm]
Stimmt das?
Sind diese Polynome eigentlich eindeutig bestimmbar?
Bei [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] klappts aber noch nicht :-(
Wie kann man denn eine E-Funktion zunichte machen? Bei Wurzel quadrieren, das ist klar, und bei der kubikwurzel wahrscheinlich hoch drei, aber bei e???
Wäre dir echt sehr dankbar, wenn du mir noch weiterhlefen könntest.
Liebe Grüße
Kittycat
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Deine Lösung zu [mm] \beta [/mm] stimmt genau.
Zu [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] kann ich wenig sagen - da ist was mit der Formatierung der Aufgabenstellung schiefgegangen.
Bei [mm] \gamma [/mm] könnte es die Nullstelle [mm] \wurzel{2}*e^{2\pi i *\bruch{1}{3}} [/mm] oder aber [mm] \wurzel{2}*e^{2\pi i} *\bruch{1}{3} [/mm] sein; ich vermute ersteres. Richtig? Und was ist i hier? Die imaginäre Einheit [mm] \wurzel{-1} [/mm] oder ein Parameter aus [mm] \IN, \IQ [/mm] oder [mm] \IR? [/mm] Falls es das imaginäre i ist, kennst Du wahrscheinlich die Gleichung [mm] e^{\pi i}=...
[/mm]
Bei [mm] \delta [/mm] bin ich ratlos. Meinst Du [mm] 5^{\bruch{1}{3}} [/mm] + [mm] 5^{\bruch{2}{3}} [/mm] ?
Schau Dir nochmal an, wie Brüche hier notiert werden, dann kriegst Du's bestimmt hin.
Beispiel: [mm] \bruch{4}{7} [/mm] wird \ bruch{4}{7} geschrieben, ohne den Freiraum, aber auch ohne ^ und _ .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 25.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
tschuldigung, dass ich hier kurz dazwischen schreibe... aber wie hilft bei [mm] \gamma [/mm] = [mm] \sqrt{2} \; e^{2\pi i \frac{1}{3}} [/mm] die Gleichung [mm] e^{\pi i} [/mm] = -1 weiter?
Also ich hab mal weiter ausgerechnet:
[mm] \gamma^2 [/mm] = 2 [mm] e^{2 \pi i \frac{2}{3}}
[/mm]
[mm] \gamma^3 [/mm] = 4 [mm] e^{2 \pi i \frac{4}{3}}
[/mm]
Nur hab ich es noch nicht geschafft die linear zu kombinieren dass Null herauskommt...?
Viele Grüße,
Riley
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> Hallo,
> tschuldigung, dass ich hier kurz dazwischen schreibe...
Schon ok, ist doch ein öffentliches Forum!
> aber wie hilft bei [mm]\gamma[/mm] = [mm]\sqrt{2} \; e^{2\pi i \frac{1}{3}}[/mm]
> die Gleichung [mm]e^{\pi i}[/mm] = -1 weiter?
Ernstgemeinte Frage? Wenn dieses i gemeint ist (was ich noch bezweifle), dann vereinfacht sich der Term ganz erheblich, da [mm] e^{2\pi i \frac{1}{3}}=e^{\pi i \frac{2}{3}}=(e^{\pi i})^{\frac{2}{3}}=((-1)^2)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\wurzel[3]{1}}=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 25.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für deine Antwort, jetzt bin ich aber etwas verwirrt, dann könnte man doch auch rechnen
[mm] e^{\frac{1}{3} \pi i} [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{1}{3}} [/mm] und ich dachte das wäre [mm] \frac{1}{2}(1+\sqrt{3} [/mm] i ) ??
Aber nach deiner Antwort wäre dann einfach p(x) = [mm] x^4 [/mm] - 4, richtig ?
Viele Grüße,
Riley
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Du hast ja Recht, aber erstens steht da noch eine zusätzliche 2 im Exponenten, und zweitens leuchtet mir überhaupt nicht ein, warum alle anderen Polynome reell sind und dieses eine hier auf einmal komplex sein soll - zumal ich kaum glaube, dass komplexe Polynome im Unterricht mit behandelt werden.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:22 Di 25.11.2008 | | Autor: | Riley |
... die Aufgabe ist ja auch von der Uni und nicht aus der Schule.
Wie kann man denn dann ein Polynom in [mm] \mathbb{Q}[x] [/mm] finden das dieses [mm] \gamma [/mm] als Nullstelle hat?
Irgendwie irritiert mich ein bisschen, dass das Grad 4 sein soll und im Exponenten ja [mm] \frac{1}{3} [/mm] steht. Aber das hängt bestimmt irgendwie mit den Einheitswurzeln zusammen... nur wie kommt man damit weiter...??
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Di 25.11.2008 | | Autor: | reverend |
Sehe ich im Moment auch nicht. Irgendwie will's mir auch nicht einleuchten. Ich halte das für eine bewusste Irreführung und halte auch an meiner 1 fest. Natürlich weiß ich, dass [mm] \wurzel[3]{1} [/mm] drei Lösungen in [mm] \IC [/mm] hat, aber die Polynome sollen doch in [mm] \IQ[x] [/mm] sein und die Nullstellen algebraische Zahlen über [mm] \IQ. [/mm] Da kann kein i vorkommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 25.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hm, aber es ist doch richtig, dass [mm] e^{2 \pi i \frac{1}{3}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (1+ [mm] \sqrt{3} [/mm] i) ist, oder?
Dann kann man doch so rechnen:
[mm] \gamma^2 [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \sqrt{3} [/mm] i
[mm] \gamma^4 [/mm] = - [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} \sqrt{3} [/mm] i
... und folglich das gesuchte Polynom:
p(x) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1,
oder hab ich da nun etwas vergessen / übersehen...??
Viele Grüße,
Riley
edit: ah, ich glaub ich hab ein Minus vergessen, dann geht es hoffentlich entsprechend analog somehow...
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> Hm, aber es ist doch richtig, dass [mm]e^{2 \pi i \frac{1}{3}}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{2}[/mm] (1+ [mm]\sqrt{3}[/mm] i) ist, oder?
Nein.
Der Term auf der linken Seite der Wurzel ist [mm] \wurzel[3]{1}. [/mm] Dafür gibt es in [mm] \IC [/mm] drei Lösungen: 1, [mm] -\bruch{1}{2}\pm\bruch{1}{2}\wurzel{3}i
[/mm]
Wenn ich diese drei Nullstellen jetzt in ein Polynom fasse, dann bekomme ich [mm] (x-1)(x+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{3}i)(x+-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{3}i)=x^3-1
[/mm]
> Dann kann man doch so rechnen:
> [mm]\gamma^2[/mm] = - [mm]\frac{1}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{2} \sqrt{3}[/mm] i
>
> [mm]\gamma^4[/mm] = - [mm]\frac{1}{2}[/mm] - [mm]\frac{1}{2} \sqrt{3}[/mm] i
>
> ... und folglich das gesuchte Polynom:
>
> p(x) = [mm]x^4[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 1,
>
> oder hab ich da nun etwas vergessen / übersehen...??
>
> Viele Grüße,
> Riley
> edit: ah, ich glaub ich hab ein Minus vergessen, dann geht
> es hoffentlich entsprechend analog somehow...
Siehe oben.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 27.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 25.11.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo reverend,
ich bin wieder da ... und ich glaub so langsam verstehe ich auch, was du meinst.
Also die [mm] \wurzel{2} [/mm] hätte doch das Minimalpolynom [mm] x^4 [/mm] - 2 und die Einheitswurzel [mm] e^{2\pi i \bruch{1}{3}} [/mm] das Minimalpolynom [mm] x^4 [/mm] - 1, oder?
Kann man das jetzt nicht einfach irgendwie verwurschteln??? :-?
Oder wie würdest du denn jetzt diese Aufgabe lösen ... wenn das echt nicht in Abhängigkeit von i bei den komplexen Zahlen gedacht war?
Liebe Grüße
Kittycat
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> Hallo reverend,
Hallo Kittycat!
> ich bin wieder da ...
Ich auch...
> und ich glaub so langsam verstehe
> ich auch, was du meinst.
Ich bin nicht mehr sicher, ob ich noch verstehe, was ich meine. 
> Also die [mm]\wurzel{2}[/mm] hätte doch das Minimalpolynom [mm]x^4[/mm] - 2
Nein, sondern [mm] \a{}x^2-2
[/mm]
> und die Einheitswurzel [mm]e^{2\pi i \bruch{1}{3}}[/mm] das
> Minimalpolynom [mm]x^4[/mm] - 1, oder?
Nein, sondern [mm] \a{}x^3-1 [/mm] [siehe hierzu meine wenig frühere Antwort an Riley in einem anderen Teil des Baumes]
> Kann man das jetzt nicht einfach irgendwie
> verwurschteln??? :-?
Frag ich mich auch. Ich komm später wieder. Falls bis dahin nicht schon jemand eine schöne Lösung hat. Du vielleicht?
> Oder wie würdest du denn jetzt diese Aufgabe lösen ... wenn
> das echt nicht in Abhängigkeit von i bei den komplexen
> Zahlen gedacht war?
Ebenfalls später. Ich muss mal noch 'ne Stunde telefonieren, wenn nicht länger.
> Liebe Grüße
> Kittycat
Grüße zurück!
reverend
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