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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Sa 26.11.2005 | | Autor: | tempo |
hi, habe ein problem mit folgender aufgabe:
Sei [mm] L=\IR(1,1,0,1) \subset \IR^4.
[/mm]
Bestimmen Sie alle linearen Abbildungen [mm] f:\IR^4 \to \IR^2, [/mm] so daß f|L=0.
Zeigen Sie, daß diese einen Vektorraum bilden und berechnen Sie die Dimension.
also verstehe ich das richtig das L der Kern von f sein soll? (da ja L auf 0 abgebildet wird?) und kann ich dann L einfach auf 0 abbilden und dann 3 weitere (lin. unabh.) vektoren (da [mm] \IR^4 [/mm] ) auf [mm] \IR^2 [/mm] abbilden??? der beweis das die abbildungen einen vektorraum bilden sollte kein problem sein (sollten ja 2 lin. unabhängig sein, oder?) und die dim wäre ja dann wegen [mm] \IR^2 [/mm] = 2 ?
oder schalten meine synapsen da in die falsche richtung?
ps. in keinem anderen forum gestellt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 26.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Tempo,
> also verstehe ich das richtig das L der Kern von f sein
> soll? (da ja L auf 0 abgebildet wird?) und kann ich dann L
> einfach auf 0 abbilden und dann 3 weitere (lin. unabh.)
Nein, das steht da nicht.
Es steht da, dass f eingeschrämkt auf L gleich 0 sein muss, d.h. das L im Kern enthalten sein soll - der Kern wird aber immer mindestens zweidimensional sein...
> der beweis das
> die abbildungen einen vektorraum bilden sollte kein problem
> sein (sollten ja 2 lin. unabhängig sein, oder?)
was zwei linear unabhängig ?
> und die dim
> wäre ja dann wegen [mm]\IR^2[/mm] = 2 ?
> oder schalten meine synapsen da in die falsche richtung?
ich glaube du verwechselst da wirklich etwas.
Du sollst zeigen, dass die ABBILDUNGEN selbst einen Vektorraum bilden, also jede Abbildung ist ein Vektor und zusammen dann ein VR..
Hinweis :
Jede Abbildung ist eineindeutig als Matrix darstellbar - wie sehen solche Matrizen aus, wenn die Abbildungen alle von [mm] $\IR^4$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] gehen?
jetzt kommt das einzige Problem:
diese eineindeutige Darstellung von oben setzt vorraus, dass man sich eine Basis im Ursprungs- und im Zielraum ausgesucht hat.
Aus deiner aufgabe geht dies aber nicht so recht vor, deshalb würde ich einfach mal vorschlagen den erzeugenden Vektor aus L als letzten Basisvektor zu nehemn diese Basis noch zu einer des [mm] $\R^4$ [/mm] zu ergänzen und im [mm] $\IR^2$ [/mm] eine beliebige zu wählen.
Welche Form haben dann die Matrizen immer?
(Hieran dann auch die VR-Axiome zeigen !!)
Wieviel freie Einträge kann man selbst vornehmen?
(Dies ist dann die Dimension des VR)
bsp : für die MAtrix [mm] $\pmat{a&b\\c&d}$ [/mm] ist [mm] $\{ \pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0},\pmat{0&0\\0&1} \}$ [/mm] eine Basis, denn:
[mm] $\pmat{a&b\\c&d}=a*\pmat{1&0\\0&0} [/mm] + [mm] b*\pmat{0&1\\0&0} +c*\pmat{0&0\\1&0} [/mm] + [mm] d*\pmat{0&0\\0&1} [/mm] $
Schaffst du den Rest nun alleine?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 27.11.2005 | | Autor: | tempo |
danke erstmal für die schnelle antwort!
> ich glaube du verwechselst da wirklich etwas.
> Du sollst zeigen, dass die ABBILDUNGEN selbst einen
> Vektorraum bilden, also jede Abbildung ist ein Vektor und
> zusammen dann ein VR..
>
> Hinweis :
> Jede Abbildung ist eineindeutig als Matrix darstellbar -
> wie sehen solche Matrizen aus, wenn die Abbildungen alle
> von [mm]\IR^4[/mm] nach [mm]\IR^2[/mm] gehen?
also bei mir kommen da 2X4 Matrizen raus?!
> jetzt kommt das einzige Problem:
> diese eineindeutige Darstellung von oben setzt vorraus,
> dass man sich eine Basis im Ursprungs- und im Zielraum
> ausgesucht hat.
>
> Aus deiner aufgabe geht dies aber nicht so recht vor,
> deshalb würde ich einfach mal vorschlagen den erzeugenden
> Vektor aus L als letzten Basisvektor zu nehemn diese Basis
> noch zu einer des [mm]\IR^4[/mm] zu ergänzen und im [mm]\IR^2[/mm] eine
> beliebige zu wählen.
ja genau da liegt ja auch mein problem! ich weiß nicht wie ich "alle" abbildungen bestimmen kann. ich habe mir z.B. folgende abbildungsmatrix überlegt:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 }
[/mm]
indem ich L= [mm] \IR [/mm] (1,1,0,1) auf 0 abgebildet habe und mir dann für [mm] a_{11} [/mm] bis [mm] a_{24} [/mm] zahlen überlegt habe (ergebniss siehe obere matrix)
> (Hieran dann auch die VR-Axiome zeigen !!)
> Wieviel freie Einträge kann man selbst vornehmen?
> (Dies ist dann die Dimension des VR)
also in der oberen matrix darf ich die 3. spalte frei bestimmen und habe damit 2 "freie" einträge; d.h. dim VR=2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mo 28.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi tempo,
> also bei mir kommen da 2X4 Matrizen raus?!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> ja genau da liegt ja auch mein problem! ich weiß nicht wie
> ich "alle" abbildungen bestimmen kann. ich habe mir z.B.
> folgende abbildungsmatrix überlegt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -2 }[/mm]
>
> indem ich L= [mm]\IR[/mm] (1,1,0,1) auf 0 abgebildet habe und mir
> dann für [mm]a_{11}[/mm] bis [mm]a_{24}[/mm] zahlen überlegt habe (ergebniss
> siehe obere matrix)
zu allererst : zu welcher Basis (besser : Basen) soll diese Matrix sein ?
aber dennoch waere dies ja nur eine moegliche Abbildung - da fahlen vielfache und andere Moeglichkeiten.
es ist einfacher wenn du folgende Basis nimmst: [mm] $\{ v_1 ,v_2 , v_3 , \vektor{1\\1\\0\\1} \}$ [/mm] , wobei die [mm] v_i [/mm] natuerlich unabhaengig vom letzten Vektor gewaehlt seien. Dann sieht die entsprechende Matrix so aus: [mm] $\pmat{a&b&c&0\\d&e&f&0}$ [/mm] , wobei eine beliebige Basis aus dem Zielraum genommen wurde.
Ist dir dies klar?
> > (Hieran dann auch die VR-Axiome zeigen !!)
> > Wieviel freie Einträge kann man selbst vornehmen?
> > (Dies ist dann die Dimension des VR)
>
> also in der oberen matrix darf ich die 3. spalte frei
> bestimmen und habe damit 2 "freie" einträge; d.h. dim VR=2
> ?
daran kann man leicht sehen wieviele freie Eintraege man hat : naemlich 6
dementsprechend ist auch die Dimension.
Kannst du eine Basis angeben? (und natuerlich vorher auch zeigen, dass dies ein VR ist?)
viele Gruesse
DaMenge
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