allg.Frage zu Landau-Symbolen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Do 17.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe nur eine ganz allgemeine Frage zu den Landau-Symbolen, genauer gesagt zur Konstante [mm] C(\varepsilon), [/mm] die in der Definition von Ordnung groß O von ... vorkommt. Diese soll ja von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen und [mm] \varepsilon [/mm] soll - wie immer - größer Null sein. Ok, aber "abhängen von" heißt ja meistens, dass die Konstante in "beliebiger Weise" von einer anderen (festen) Konstante abhängen soll; es gibt keinerlei Vorschriften auf WELCHE Weise (mit dieser Definition hatte und habe ich ehrlich gesagt in allen Teilbereichen immer etwas Probleme...). Das würde ja aber keinen Sinn machen denn dann könnte für [mm] \varepsilon [/mm] beliebig, >0 dieses C ja z.B. [mm] -\varepsilon [/mm] sein und wäre dann negativ.
Wenn man die obige Bedingung umformt, erhält man ja [mm] \bruch{\parallel f(x) \parallel}{|g(x)|} \le [/mm] C . (So forme ich bei Ordnung groß O eigentlich immer als Erstes um bzw. benutze gleich diese Bedingung. Wenn es jetzt aber egal ist, ob das C positiv oder negativ ist und es auch "beliebig" groß sein sein (weil [mm] \varepsilon [/mm] ja beliebig ist), dann kann man mit dieser Bedingung ja überhaupt nichts anfangen...?
Und die Bedingung mit dem [mm] \parallel [/mm] x-a [mm] \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] versteh ich irgendwie auch nicht so ganz (die hab ich bisher eigentlich immer weggelassen  ).
Vielen Dank schonmal für die Hilfe,
Gruß, à la fin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Do 17.09.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
In deinem letzten Post hast du m.E. nach bereits eine etwas falsche Definition von Laundau-O benutzt, bzw. sie irgendwwie komisch aufgeschrieben. Richtig ist $f(x)=O(g(x))$ für [mm] $x\to [/mm] a$, falls [mm]\limsup_{x\to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le C[/mm] für ein [mm] $C\in\IR$. [/mm] Das bedeutet nichts weiter, als dass der Quotient [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] dem Betrage nach in einer Umgebung um [mm]a[/mm] beschränkt bleibt, d.h. [mm] $$\exists C\in\IR:\exists\delta>0:\forall x\in(a-\delta,a+\delta):\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le [/mm] C$$ Bei diesen ganzen Grundlagen aus der Analysis (Grenzwerte, Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit, usw) kommt es immer ganz genau auf die Reihenfolge an: "Zu jedem ... gibt es ein ..., sodass für alle ... mit ... gilt ....". Es ist normal wenn man da mal durcheinander kommt, mir hat es geholfen alles wieder und wieder mit Quantoren aufzuschreiben, z.B.
Stetigkeit: [mm] $\forall\varepsilon>0:\forall x_0\in D\exists\delta>0:\forall x\in D:\|x-x_0\|<\delta\Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|<\varepsilon$
[/mm]
glm. Stetigkeit: [mm] $\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall x_0\in D:\forall x\in D:\|x-x_0\|<\delta\Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|<\varepsilon$
[/mm]
Wenn du dir das genau ansiehst, erkennst du dass eigentlich nur die Reihenfolge zweier Quantoren vertauscht wurde, aber das ist eben ein bedeutender Unterschied. Allgemein kannst du die Reihenfolge zweier aufeinanderfolgender gleicher Quantoren vertauschen, aber nicht wenn es es verschiedene Quantoren (d.h. ein Existenz und ein Allquantor) sind.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Do 17.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
zuerst mal: DANKE für die ausführliche und fundierte Antwort!!!  Das hat mir schon sehr weitergeholfen; allerdings muss ich sagen, dass mich dieses "in einer Umgebung von a" schon wieder stört, weil sich da ja wieder die Frage stellt, was denn a ist und wie groß man [mm] \delta [/mm] wählt usw., aber andererseits denke ich, dass man das (jedenfalls für "normale" Aufgabenstellungen aus dem 2.Semester) gar nicht so genau braucht / dass es reicht zu sagen dass es beschränkt ist.
Und das mit den "Quantoren" (der Begriff war mir ehrlich gesagt neu) ist natürlich ein guter Tipp, danke, auch wenn ich den schon lange versuche anzuwenden und er die Sache zwar vllt. einfacher, aber halt keineswegs EINFACH macht... was jetzt für Mathe nicht unbedingt ungewöhnlich ist und ich beschwer mich ja auch garnicht .
Mein Motto: man lernt NIE aus, also braucht man sich auch nicht stressen ^^
Grüße,
à la fin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Sa 19.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> allerdings muss ich sagen, dass mich dieses "in einer
> Umgebung von a" schon wieder stört, weil sich da ja wieder
> die Frage stellt, was denn a ist und wie groß man [mm]\delta[/mm]
> wählt usw., aber andererseits denke ich, dass man das
> (jedenfalls für "normale" Aufgabenstellungen aus dem
> 2.Semester) gar nicht so genau braucht / dass es reicht zu
> sagen dass es beschränkt ist.
Also ich muss dazu sagen das die Sprechweise "in einer Umgebung von a" eine absolut exakte mathematische Aussage beschreibt: a ist ein Element eines "metrischen/topologischen Raums" X und eine "Umgebung" U von a ist eine Teilmenge von X, die eine "offene" Menge O enthält mit [mm] $a\in [/mm] O$ (welche Mengen "offen" sind wird, durch die "Topologie" bzw. die Metrik des Raumes definiert).
In diesem Fall ist [mm] X=\IR [/mm] und a ist einfach irgendeine reelle Zahl [mm] $a\in\IR$. [/mm] Eine Umgebung um a ist eine Menge [mm] $U\subset\IR$, [/mm] die ein (u.U. winzig kleines) offenes Intervall I mit [mm]a\in I[/mm] enthält. z.B. ist $(0,1]$ eine Umgebung von $a=1/2$, aber nicht von $a=1$.
Und diese Frage nach "wie groß man [mm] \delta [/mm] wählt" macht keinen Sinn. Die Aussage ist "zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein [mm] $\delta$", [/mm] es spielt im Allgemeinen keine Rolle "wie groß" [mm] $\delta$ [/mm] wirklich ist.
Wahrscheinlich hat dich das jetzt alles mehr verwirrt als erleuchtet, aber ich wollte dir nur verdeutlichen, dass hinter vielen auf den ersten Blick "schwammigen" Formulierungen ganz exakte mathematische Aussagen stehen. Und nochwas: In den ersten Semestern ist es deine Aufgabe dich mit diesen Details zu beschäftigen und jede Kleinigkeit in Zweifel zu ziehen, nur so wirst du es wirklich verstehen.
Gruß, Robert
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