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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
hallo!
ich hätte da noch ein paar fragen, für die ich nicht extra jeweils eine eigene diskussion aufmachen wollte:
1. kann mir jemand sagen, wie ich den abstand zwischen 2 graphen berechnen kann? also ich weiß, dass ich erst die different bilden muss um eine funktion d(x) zu erhalten, davon suche ich dann den extremwert.aber wie mache ich dann weiter?
2. ich bin gerade im zusammenhang mit der vektorraumtheorie auf die begriffe inverses und neutrales element gestoßen. kann mir vielleicht jemand erklären, was es damit auf sich hat? habs schon gegoogelt, aber mit den jeweiligen erklärungen konnte ich leider nicht so viel anfangen.
das wärs dann erst einmal. bin für jede hilfe dankbar
gruß karlchen
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> hallo!
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> ich hätte da noch ein paar fragen, für die ich nicht extra
> jeweils eine eigene diskussion aufmachen wollte:
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> 1. kann mir jemand sagen, wie ich den abstand zwischen 2
> graphen berechnen kann? also ich weiß, dass ich erst die
> different bilden muss um eine funktion d(x) zu erhalten,
> davon suche ich dann den extremwert.aber wie mache ich dann
> weiter?
Du suchst den vertikalen Abstand zwischen zwei Graphen $K$ (von $f$) und $G$ (der Funktion $g$).
Wie Du richtig schreibst: $d(x)=|f(x)-g(x)|$.
Dann relative Extrema ausrechnen mittels $d'(x), d''(x)$.
Untersuchung auf Randextrema mittels Grenzwert [mm] ($\lim$ [/mm] bei offenem Intervall) oder Einsetzen (bei abgeschlossenem Intervall).
Absolutes Extrema durch Vergleich der relativen Extrema untereinander und mit den Randwerten.
Antwortsatz schreiben
>
> 2. ich bin gerade im zusammenhang mit der vektorraumtheorie
> auf die begriffe inverses und neutrales element gestoßen.
> kann mir vielleicht jemand erklären, was es damit auf sich
> hat? habs schon gegoogelt, aber mit den jeweiligen
> erklärungen konnte ich leider nicht so viel anfangen.
Neutrales Element:
Additon: $a + 0 = a$
Multiplikation $a [mm] \cdot [/mm] 1 = a$
Inverses Element
Addition: $a + (-a) = 0$
(Multiplikation $a [mm] \cdot [/mm] 1/a = 1$)
In einem Vektorraum braucht es diese Elemente.
Sehr abstrakt hier:
http://www-user.tu-chemnitz.de/~benner/Lehre/HM1/VR-Axiome.pdf
Etwas leichter
http://www.mathproject.de/LineareAlgebra/9_1.html
Gruß
Mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
hallo und danke erst einmal^^
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> Du suchst den vertikalen Abstand zwischen zwei Graphen [mm]K[/mm]
> (von [mm]f[/mm]) und [mm]G[/mm] (der Funktion [mm]g[/mm]).
>
> Wie Du richtig schreibst: [mm]d(x)=|f(x)-g(x)|[/mm].
>
> Dann relative Extrema ausrechnen mittels [mm]d'(x), d''(x)[/mm].
>
> Untersuchung auf Randextrema mittels Grenzwert ([mm]\lim[/mm] bei
> offenem Intervall) oder Einsetzen (bei abgeschlossenem
> Intervall).
>
> Absolutes Extrema durch Vergleich der relativen Extrema
> untereinander und mit den Randwerten.
>
> Antwortsatz schreiben
das verstehe ich nicht so ganz, sorry.
Also ich habe 2 Funktionen [mm] f(x)=(2x-1)*e^{-x} [/mm] und [mm] g(x)=(8x-1)*e^{-x}
[/mm]
[mm] d(x)=g(x)-f(x)=e^{-x}*(6x-2)
[/mm]
[mm] d'(x)=e^{-x}*(8-6x)
[/mm]
[mm] d''(x)=e^{-x}*(6x-4)
[/mm]
d'(x)=0
[mm] x=\bruch{8}{6}
[/mm]
[mm] y\approx [/mm] 1,58
[mm] d''(\bruch{8}{6})\approx [/mm] -1,58 --> lokales Maximum
also habe ich doch jetzt einen Punkt [mm] D(\bruch{8}{6}/\approx [/mm] 1,58)
um den Abstand zu berechnen brauche ich noch einen 2. Punkt. Kann ich den irgendwie errechnen?
oder kannst du mir an diesem beispiel erklären was du mit "Absolutes Extrema durch Vergleich der relativen Extrema untereinander und mit den Randwerten." meinst?
wär ganz lieb
gruß karlchen
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Hallo Karlchen!
> hallo und danke erst einmal^^
> >
> > Du suchst den vertikalen Abstand zwischen zwei Graphen [mm]K[/mm]
> > (von [mm]f[/mm]) und [mm]G[/mm] (der Funktion [mm]g[/mm]).
> >
> > Wie Du richtig schreibst: [mm]d(x)=|f(x)-g(x)|[/mm].
> >
> > Dann relative Extrema ausrechnen mittels [mm]d'(x), d''(x)[/mm].
> >
> > Untersuchung auf Randextrema mittels Grenzwert ([mm]\lim[/mm] bei
> > offenem Intervall) oder Einsetzen (bei abgeschlossenem
> > Intervall).
> >
> > Absolutes Extrema durch Vergleich der relativen Extrema
> > untereinander und mit den Randwerten.
> >
> > Antwortsatz schreiben
>
> das verstehe ich nicht so ganz, sorry.
> Also ich habe 2 Funktionen [mm]f(x)=(2x-1)*e^{-x}[/mm] und
> [mm]g(x)=(8x-1)*e^{-x}[/mm]
>
> [mm]d(x)=g(x)-f(x)=e^{-x}*(6x-2)[/mm]
> [mm]d'(x)=e^{-x}*(8-6x)[/mm]
> [mm]d''(x)=e^{-x}*(6x-4)[/mm]
>
> d'(x)=0
> [mm]x=\bruch{8}{6}[/mm]
> [mm]y\approx[/mm] 1,58
>
> [mm]d''(\bruch{8}{6})\approx[/mm] -1,58 --> lokales Maximum
>
> also habe ich doch jetzt einen Punkt [mm]D(\bruch{8}{6}/\approx[/mm]
> 1,58)
Aber wieso willst du einen Punkt? Ich hoffe, ich erinnere mich richtig, aber im Prinzip machst du doch folgendes:
Der (vertikale) Abstand zwischen zwei Graphen bedeutet doch, dass du den minimalen Abstand suchst. Mit der Funktion g-f erhältst du die Funktion, die jedem x-Wert den Abstand zwischen den beiden Graphen g und f zuordnet. Wenn du also diese Abstandsfunktion zeichnen würdest, würdest du direkt sehen, wo der Abstand am kleinsten ist, nämlich da, wo die Funktion ein Minimum hat. Also musst du von deiner Abstandsfunktion nur den Tiefpunkt berechnen, und das machst du einfach durch Nullsetzen der 1. Ableitung und gucken, ob die 2. Ableitung dort >0 ist. Dann hast du den Tiefpunkt.
Übrigens hast du dich oben verrechnet: [mm] -1-(-1)=0\not=2!
[/mm]
> um den Abstand zu berechnen brauche ich noch einen 2.
> Punkt. Kann ich den irgendwie errechnen?
Wieso brauchst du noch einen 2. Punkt? Wenn du zwei Geraden hast, wäre doch der Abstand z. B. 1 oder 5 oder so - da reicht doch dieser eine Wert!? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> oder kannst du mir an diesem beispiel erklären was du mit
> "Absolutes Extrema durch Vergleich der relativen Extrema
> untereinander und mit den Randwerten." meinst?
Naja, also es kann ja sein, dass die Funktion mehrere Tiefpunkte hat (dann hat sich auch mindestens einen Hochpunkt, aber das ist nicht so wichtig), und der Abstand der beiden Funktionen ist natürlich da am geringsten, wo der niedrigste Tiefpunkt liegt, also der absolute Tiefpunkt. Und wenn du mehrere Tiefpunkte hast, musst du diese halt vergleichen und gucken, welches der niedrigste ist.
Und wenn du am Rand noch ein Extremum hast, was du nicht durch Ableitung Nullsetzen herausbekommst, dann gehört dieses aber trotzdem noch zu den relativen Tiefpunkten dazu und kann evtl. auch ein absoluter Tiefpunkt sein, also musst du diese mit vergleichen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
hallo nochmal!
sorry ich hätte erwähnen sollen, dass es darum geht die maximale ausdehnung zu bestimmen. spielt aber auch keine rolle...
irgendwie steh ich grad auf dem schlauch. also wenn ich den abstand zwischen 2 graphen haben will erhalte ich doch dann eine gerade oder eher gesagt strecke die von dem punkt [mm] g_{P} [/mm] zum punkt [mm] h_{Q} [/mm] geht. dann wäre doch mein abstand [mm] |PQ|=\wurzel{(Q-P)^{2}} [/mm] oder bin ich jetzt auf nem ganz falschen dampfer??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karlchen,
> hallo nochmal!
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> sorry ich hätte erwähnen sollen, dass es darum geht die
> maximale ausdehnung zu bestimmen. spielt aber auch keine
> rolle...
>
> irgendwie steh ich grad auf dem schlauch. also wenn ich den
> abstand zwischen 2 graphen haben will erhalte ich doch dann
> eine gerade oder eher gesagt strecke die von dem punkt
> [mm]g_{P}[/mm] zum punkt [mm]h_{Q}[/mm] geht. dann wäre doch mein abstand
> [mm]|PQ|=\wurzel{(Q-P)^{2}}[/mm] oder bin ich jetzt auf nem ganz
> falschen dampfer??
also zu dem ganzen müsste man eigentlich theoretisch noch etwas ergänzen. Wenn Du zwei Funktionen $f$ und $g$ hast, so misst $d:=|f-g|$, ausgewertet an der Stelle $x$, den horizontalen Abstand zwischen $f$ und $g$, an der Stelle $x$. Der Abstand zwischen $f$ und $g$ ist in Wahrheit eigentlich das Infimum von $d(x)=|f(x)-g(x)|$ über alle $x$.
In der Schule werden die Funktionen wohl immer so sein, dass es bei $d$ dann eine Stelle gibt, wo das Infimum angenommen wird. Diese ist dann also eine Minimalstelle von $d$. Und an dieser Stelle [mm] $x_m$ [/mm] ist der Wert [mm] $d(x_m)$ [/mm] dann der Abstand zwischen $f$ und $g$.
Als Beispiel:
[mm] $f(x)=\sin(x-1)$ [/mm] und $g(x)=2$. Wir betrachten die Funktionen mal auf [mm] $\IR$. [/mm] Dann ist [mm] $d(x)=|\sin(x-1)-2|=2-\sin(x-1)$, [/mm] und Du wirst nachrechnen, dass $d$ an den Stellen [mm] $x_k:=\frac{\pi}{2}+1$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$) [/mm] Minimalstellen hat. Das heißt, dass der Abstand zwischen $f$ und $g$ einfach z.B. [mm] $d(x_0)=d\left(\frac{\pi}{2}+1\right)$ [/mm] ist. Aber graphisch wäre das das gleiche, wie, wenn Du die Graphen von $f$ und $g$ in einem kartesischen Koordinatensystem einzeichnest und dann den euklidischen Abstand der Punkte [mm] $P(x_0,f(x_0))=P\left(\frac{\pi}{2}+1,f\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\right) \in \mbox{graph }(f)$ [/mm] und [mm] $Q(x_0,g(x_0))=Q\left(\frac{\pi}{2}+1,f\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\right) \in \mbox{graph }(g)$ [/mm] (im [mm] $\IR^2$) [/mm] berechnest.
Und bitte beachte:
$|f(x)-g(x)|=d(x)$ ist der horizontale Abstand zwischen $f$ und $g$ ausgewertet an der Stelle $x$.
(Im Sinne von: Horizontaler Abstand zwischen den Graphen von $f$ und $g$.)
Mach' Dir das mal klar mit [mm] $f(x)=\ln(x)$ [/mm] und $g(x)=x$, wenn man diese auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] betrachtet:
Geometrisch würde man hier (in diesem speziellen Fall, weil [mm] $f(x)=\ln(x)$ [/mm] diff'bar ist) den Abstand der zugehörigen Graphen mit Tangenten an Punkten des Graphen von $f$ zu gewissen Punkten des Graphen von $g$ berechnen, aber $d(x)=|f(x)-g(x)|$ misst *nur* gewisse "horizontale Abstände".
Gruß,
Marcel
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Hallo Karlchen!
> 2. ich bin gerade im zusammenhang mit der vektorraumtheorie
> auf die begriffe inverses und neutrales element gestoßen.
> kann mir vielleicht jemand erklären, was es damit auf sich
> hat? habs schon gegoogelt, aber mit den jeweiligen
> erklärungen konnte ich leider nicht so viel anfangen.
Ich weiß zwar nicht, ob das für die Schule wichtig ist, wenn ihr die Vektorraumaxiome nicht durchgenommen habt, aber ich will es mal ganz kurz erklären. Ein Vektorraum ist eigentlich nur eine abstrakte Struktur, in der bestimmte Gesetze gelten, und in gewisser Weise gehören da halt neutrale und inverse Elemente zu.
Ein neutrales Element ist einfach ein Element, dass ein anderes Element unverändert lässt, wenn man es mit diesem neutralen Element verknüpft. Wenn du also im Vektorraum der reellen Zahlen ein Element (also eine beliebige reelle Zahl) mit der 0 addierst, so bleibt die Zahl wie sie ist und ändert sich nicht. Also ist 0 das neutrale Element (bzgl. der Addition). Das neutrale Element ist immer neutral für alle Elemente des Vektorraums, es ist also egal, ob du 5 mit 0 addierst oder 2 oder 10000, die Zahl bleibt 5, 2 oder 10000.
Anders ist es bei den inversen Elementen, da gibt es für jedes Element ein eigenes inverses Element. Invers bedeutet, dass wenn du ein Element mit seinem inversen verknüpfst (also z. B. wieder addierst), dass dann das neutrale Element herauskommt. Wenn du also in [mm] \IR [/mm] die 5 mit der -5 addierst, so ergibt sich 0, und wie wir gerade gesehen haben, ist 0 das neutrale Element, also ist die -5 invers zur 5. Und natürlich auch umgekehrt, denn -5+5=0.
Ich hoffe, das hilft ein bisschen.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
ja das hat mir sogar sehr geholfen. ganz lieben Dank!^^
kann ich denn dann jetzt im bezug auf die Vektoren sagen, dass in jedem Vektorraum, der nullvektor im hinblick auf die addition ein neutrales element ist und im hinblick auf die multiplikation ein inverses??
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Hallo Karlchen!
> ja das hat mir sogar sehr geholfen. ganz lieben Dank!^^
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> kann ich denn dann jetzt im bezug auf die Vektoren sagen,
> dass in jedem Vektorraum, der nullvektor im hinblick auf
> die addition ein neutrales element ist und im hinblick auf
> die multiplikation ein inverses??
Nee. Also erstmal kann man sowieso nicht sagen, dass ein Element neutrales Element in jedem Vektorraum ist, denn es gibt die unterschiedlichsten Vektorräume, da muss die Verknüpfung auch nicht immer die Addition oder Multiplikation sein, da gibt es auch viel verrücktere Sachen... Und der Nullvektor ist kein inverses Element und schon gar nicht für die Multiplikation. Ich denke, in der Schule nehmt ihr nur die Vektorräume [mm] \IR, \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] durch. In [mm] \IR [/mm] ist es ganz klar, das lernt man in der Grundschule: 0 ist das neutrale Element der Addition, und in der Unterstufe lernst du, dass zu x eben -x das Inverse ist - auch noch bzgl. der Addition.
Bzgl. der Multiplikation suchen wir ja ein Element, so dass wir ein beliebiges x damit multiplizieren können und als Ergebnis unser x wieder erhalten. Das ist natürlich die 1, denn x*1=x. Also ist die 1 das neutrale Element bzgl. der Multiplikation im Vektorraum [mm] \IR.
[/mm]
In [mm] \IR^2 [/mm] haben wir ja "zweidimensionale Vektoren", also etwas der Form: [mm] \vektor{x_1\\x_2}. [/mm] Neutrales Element bzgl. der Addition wäre nun [mm] \vektor{0\\0}, [/mm] denn [mm] \vektor{x_1\\x_2}+\vektor{0\\0}=\vektor{x_1\\x_2} [/mm] - es ändert sich also nichts. Inverses Element wäre natürlich [mm] \vektor{-x_1\\-x_2}. [/mm] Im [mm] \IR^3 [/mm] ist es dementsprechend.
Viele Grüße
Bastiane
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