allgemeiner Beweis von ONB R^n < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Di 16.12.2014 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | 8.5
Es seien nur [mm] $\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} [/mm] - [mm] \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}$
[/mm]
a) Beweisen Sie [mm] $\stackrel{\sim}{w}$ [/mm] steht senkrecht auf [mm] $\vec{v}$.
[/mm]
b) Beweisen Sie [mm] $spann(\vec{v}, \vec{w}) [/mm] = [mm] spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})$. [/mm] |
Hallo zusammen,
bei den obigen Aufgaben komme ich nicht weiter und würde mich auf eure Unterstützung freuen.
[mm] \\
[/mm]
Zu a) habe ich folgendes gedacht:
[mm] \\
[/mm]
Voraussetzung:
[mm] $\vec{v}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n$ [/mm] mit [mm] $\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} [/mm] - [mm] \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}$
[/mm]
Behauptung:
[mm] $\langle \stackrel{\sim}{w}, \vec{v} \rangle [/mm] = 0$
Beweis:
[mm] $\langle \stackrel{\sim}{w}, \vec{v} \rangle [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrightarrow \stackrel{\sim}{w} \cdot \vec{v} [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrightarrow \langle \vec{w} [/mm] - [mm] \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}, \vec{v} \rangle [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrightarrow \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \cdot \vec{v} [/mm] = 0$
Hier komme ich nicht weiter und würde mich über einen Hinweis freuen.
Zu b)
Voraussetzung:
[mm] $\vec{v}, \vec{w}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n$ [/mm] mit [mm] $\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} [/mm] - [mm] \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}$
[/mm]
Behauptung:
[mm] $spann(\vec{v}, \vec{w}) [/mm] = [mm] spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})$.
[/mm]
Beweis:
Aus der Behauptung folgt: [mm] $\vec{w} [/mm] = [mm] \stackrel{\sim}{w}$
[/mm]
Dann folgt aus der Voraussetzung:
[mm] $\vec{w} [/mm] = [mm] \vec{w} [/mm] - [mm] \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] 0 = - [mm] \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}$
[/mm]
Ich nehme an (kann es aber nicht beweisen), dass [mm] $\vec{w}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] orthogonal sind, wenn es stimmen sollte, dann folgt daraus:
$0 = - [mm] \frac{0 }{\vec{v} \cdot \vec{v} } \cdot \vec{v}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 = 0 [mm] \qquad \Box$
[/mm]
Aber dieser Beweis kommt mir sehr schräg vor und lückenhaft ist er allemal.
Ich würde mich über jede Hilfe und Hinweise freuen.
Vielen Dank vorab
Viele Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 16.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
>
> Hallo zusammen,
>
> bei den obigen Aufgaben komme ich nicht weiter und würde
> mich auf eure Unterstützung freuen.
> [mm]\\[/mm]
>
> Zu a) habe ich folgendes gedacht:
> [mm]\\[/mm]
>
> Voraussetzung:
>
> [mm]\vec{v}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] mit
> [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> Behauptung:
>
> [mm]\langle \stackrel{\sim}{w}, \vec{v} \rangle = 0[/mm]
>
> Beweis:
>
> [mm]\langle \stackrel{\sim}{w}, \vec{v} \rangle = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \stackrel{\sim}{w} \cdot \vec{v} = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \langle \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \cdot \vec{v} = 0[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter und würde mich über einen
> Hinweis freuen.
Benutze die Linearität des Skalarproduktes im ersten Argument.
>
> Zu b)
>
> Voraussetzung:
> [mm]\vec{v}, \vec{w}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] mit
> [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> Behauptung:
> [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
>
> Beweis:
> Aus der Behauptung folgt: [mm]\vec{w} = \stackrel{\sim}{w}[/mm]
Aber ganz sicher nicht.
> Dann folgt aus der Voraussetzung:
> [mm]\vec{w} = \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0 = - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> Ich nehme an (kann es aber nicht beweisen), dass [mm]\vec{w}[/mm]
> und [mm]\vec{v}[/mm] orthogonal sind, wenn es stimmen sollte, dann
> folgt daraus:
>
> [mm]0 = - \frac{0 }{\vec{v} \cdot \vec{v} } \cdot \vec{v}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
Und was hättest du davon, selbst wenn das so wäre?
> Aber dieser Beweis kommt mir sehr schräg vor und
> lückenhaft ist er allemal.
Sei etwa $x$ im Spann von v und [mm] $\tilde [/mm] w$, dann gibt es reelle Zahlen [mm] $c_1,c_2$ [/mm] mit $x=c_1v - [mm] c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \cdot [/mm] v [mm] +c_2 w=\left(c_1 - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \right)v+c_2 [/mm] w $
Was folgern wir daraus?
>
> Ich würde mich über jede Hilfe und Hinweise freuen.
>
> Vielen Dank vorab
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Mi 17.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
Dankeschön für die schnelle Hilfe.
> Hallo,
> > [mm]\Leftrightarrow \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \cdot \vec{v} = 0[/mm]
> > Hier komme ich nicht weiter und würde mich über einen Hinweis freuen.
> Benutze die Linearität des Skalarproduktes im ersten Argument.
Wenn ich es recht verstehe, dann gibt es die folgenden Linearitätseigenschaften für Skalarproduk im ersten Eingang/Argument:
1. Additivität: [mm]\langle \vec{v_1} + \vec{v_2}, \vec{w}\rangle = \langle \vec{v_1}, \vec{w}\rangle + \langle \vec{v_2}, \vec{w}\rangle[/mm]
2. Homogenität: [mm]\langle \lambda \cdot \vec{v}, \vec{w}\rangle = \lambda \cdot \langle \vec{v}, \vec{w}\rangle[/mm]
Ich habe hier die 1. Eigenschaft verwendet:
[mm]\Righttarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot \frac{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot 1 \Leftrightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
> > Zu b)
> > Voraussetzung:
> > [mm]\vec{v}, \vec{w}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] mit [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
> > Behauptung:
> > [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
> > Beweis:
> > Aus der Behauptung folgt: [mm]\vec{w} = \stackrel{\sim}{w}[/mm]
>
> Aber ganz sicher nicht.
Ok. Es kam mir so vor, weil ich als einzigen Unterschied [mm] \vec{w} [/mm] und [mm] \relstack{\sim}{w} [/mm] gemerkt habe.
> > Dann folgt aus der Voraussetzung:
> > [mm]\vec{w} = \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow 0 = - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
> > Ich nehme an (kann es aber nicht beweisen), dass [mm]\vec{w}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] orthogonal sind, wenn es stimmen sollte, dann folgt daraus:
> > [mm]0 = - \frac{0 }{\vec{v} \cdot \vec{v} } \cdot \vec{v}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
> Und was hättest du davon, selbst wenn das so wäre?
Damit wollte ich zeigen [mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \stackrel{\sim}{w} [/mm] ...
> Sei etwa [mm]x[/mm] im Spann von v und [mm]\tilde w[/mm], dann gibt es reelle Zahlen [mm]c_1,c_2[/mm] mit [mm]x=c_1v - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \cdot v +c_2 w=\left(c_1 - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \right)v+c_2 w[/mm]
> Was folgern wir daraus?
Also, wenn ich es jetzt richtig verstanden haben sollte, dann folgt daraus:
[mm] c_1 [/mm] = [mm] \left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right)
[/mm]
Begründung:
[mm] spann(\vec{v}, \vec{w}) [/mm] := [mm] \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \vec{w} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}
[/mm]
[mm] spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w}) [/mm] := [mm] \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \stackrel{\sim}{w} \quad| \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \vec{w} - c_2 \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \left\{ \left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right) \cdot \vec{v} + c_2 \vec{w} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow c_1 [/mm] = [mm] \left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right) \mid \quad [/mm] - [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}
[/mm]
[mm] \Rightarrow c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow spann(\vec{v}, \vec{w}) [/mm] = [mm] spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w}) \qquad \Box
[/mm]
Ich hoffe, a) und b) stimmen nun, oder doch nicht?
Danke dir vielmals für die Hilfe und die Hinweise.
> Liebe Grüße
Viele Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 Mi 17.12.2014 | | Autor: | andyv |
> Hallo,
>
> Dankeschön für die schnelle Hilfe.
>
> > Hallo,
> > > [mm]\Leftrightarrow \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \cdot \vec{v} = 0[/mm]
>
> > > Hier komme ich nicht weiter und würde mich über einen
> Hinweis freuen.
>
> > Benutze die Linearität des Skalarproduktes im ersten
> Argument.
>
> Wenn ich es recht verstehe, dann gibt es die folgenden
> Linearitätseigenschaften für Skalarproduk im ersten
> Eingang/Argument:
> 1. Additivität: [mm]\langle \vec{v_1} + \vec{v_2}, \vec{w}\rangle = \langle \vec{v_1}, \vec{w}\rangle + \langle \vec{v_2}, \vec{w}\rangle[/mm]
>
> 2. Homogenität: [mm]\langle \lambda \cdot \vec{v}, \vec{w}\rangle = \lambda \cdot \langle \vec{v}, \vec{w}\rangle[/mm]
>
> Ich habe hier die 1. Eigenschaft verwendet:
>
> [mm]\Righttarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot \frac{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot 1 \Leftrightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
>
Also entweder machst du daraus eine Gleichungskette [mm] $\dots=\dots=\dots=0$ [/mm] oder du ergänzt jeweils ein $=0$.
So macht das jedenfalls keinen Sinn.
> > > Zu b)
>
> > > Voraussetzung:
> > > [mm]\vec{v}, \vec{w}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n[/mm]
> mit [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> > > Behauptung:
> > > [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
>
> > > Beweis:
> > > Aus der Behauptung folgt: [mm]\vec{w} = \stackrel{\sim}{w}[/mm]
>
> >
> > Aber ganz sicher nicht.
>
> Ok. Es kam mir so vor, weil ich als einzigen Unterschied
> [mm]\vec{w}[/mm] und [mm]\relstack{\sim}{w}[/mm] gemerkt habe.
>
> > > Dann folgt aus der Voraussetzung:
> > > [mm]\vec{w} = \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
>
> > > [mm]\Rightarrow 0 = - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
>
> > > Ich nehme an (kann es aber nicht beweisen), dass [mm]\vec{w}[/mm]
> und [mm]\vec{v}[/mm] orthogonal sind, wenn es stimmen sollte, dann
> folgt daraus:
>
> > > [mm]0 = - \frac{0 }{\vec{v} \cdot \vec{v} } \cdot \vec{v}[/mm]
>
> > > [mm]\Rightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
> > Und was hättest du
> davon, selbst wenn das so wäre?
>
> Damit wollte ich zeigen [mm]\vec{w}[/mm] = [mm]\stackrel{\sim}{w}[/mm] ...
>
> > Sei etwa [mm]x[/mm] im Spann von v und [mm]\tilde w[/mm], dann gibt es
> reelle Zahlen [mm]c_1,c_2[/mm] mit [mm]x=c_1v - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \cdot v +c_2 w=\left(c_1 - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \right)v+c_2 w[/mm]
>
> > Was folgern wir daraus?
>
> Also, wenn ich es jetzt richtig verstanden haben sollte,
> dann folgt daraus:
>
> [mm]c_1[/mm] = [mm]\left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right)[/mm]
Nein. Setze [mm] $\tilde c_2=\left(c_1 - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \right) \in \mathbb{R}$
[/mm]
Dann gilt [mm] $x=\tilde c_2 v+c_2 [/mm] w$, also $x [mm] \in \mathrm{spann}(v,w)$ [/mm] und folglich [mm] $\mathrm{spann}(v,\tilde w)\subset\mathrm{spann}(v,w)$
[/mm]
Zeige noch die andere Inklusion.
> Begründung:
>
> [mm]spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm] := [mm]\left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \vec{w} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> [mm]spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm] := [mm]\left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \stackrel{\sim}{w} \quad| \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \vec{w} - c_2 \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \left\{ \left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right) \cdot \vec{v} + c_2 \vec{w} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
Das ist nicht äquivalent, sondern gleich.
> [mm]\Rightarrow c_1[/mm] = [mm]\left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right) \mid \quad[/mm]
> - [mm]c_1[/mm] + [mm]c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}[/mm]
> = 0
>
> [mm]\Rightarrow spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm] = [mm]spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w}) \qquad \Box[/mm]
>
>
> Ich hoffe, a) und b) stimmen nun, oder doch nicht?
>
>
> Danke dir vielmals für die Hilfe und die Hinweise.
>
> > Liebe Grüße
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 17.12.2014 | | Autor: | asg |
> > Ich habe hier die 1. Eigenschaft verwendet:
> > [mm]\Righttarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot \frac{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot 1 \Leftrightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
> Also entweder machst du daraus eine Gleichungskette
> [mm]\dots=\dots=\dots=0[/mm] oder du ergänzt jeweils ein [mm]=0[/mm].
> So macht das jedenfalls keinen Sinn.
ok, die Nullen habe ich vergessen, hier ist die Ergänzung:
[mm]\Righttarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0 \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot \frac{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} = 0 \Leftrightarrow \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle - \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
> > > > Zu b)
> > > > Voraussetzung:
> > > > [mm]\vec{v}, \vec{w}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n[/mm]
> > mit [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
> > > > Behauptung:
> > > > [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
> > > > Beweis:
> > > Sei etwa [mm]x[/mm] im Spann von v und [mm]\tilde w[/mm], dann gibt es
> > reelle Zahlen [mm]c_1,c_2[/mm] mit [mm]x=c_1v - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \cdot v +c_2 w=\left(c_1 - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \right)v+c_2 w[/mm]
> > > Was folgern wir daraus?
> > Also, wenn ich es jetzt richtig verstanden haben sollte, dann folgt daraus:
> > [mm]c_1[/mm] = [mm]\left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right)[/mm]
> Nein. Setze [mm]\tilde c_2=\left(c_1 - c_2 \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v, v \rangle} \right) \in \mathbb{R}[/mm]
> Dann gilt [mm]x=\tilde c_2 v+c_2 w[/mm], also [mm]x \in \mathrm{spann}(v,w)[/mm]
> und folglich [mm]\mathrm{spann}(v,\tilde w)\subset\mathrm{spann}(v,w)[/mm]
> Zeige noch die andere Inklusion.
Sei [mm]y \in spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm] und [mm]c_3, c_4 \in \mathbb{R}[/mm] dann gilt:
[mm]y = c_3\vec{v} + c_4\vec{w}[/mm]
[mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
[mm]\Rightarrow \vec{w} = \stackrel{\sim}{w} + \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
[mm]\vec{w}[/mm] in [mm]y[/mm] einsetzen:
[mm]y = c_3\vec{v} + c_4 \cdot \left( \stackrel{\sim}{w} + \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right)[/mm]
[mm]y = c_3\vec{v} + c_4 \ \cdot \stackrel{\sim}{w} + c_4 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
[mm]y = \left( c_3 + c_4 \ \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right) \cdot \vec{v} + c_4 \cdot \stackrel{\sim}{w}[/mm]
[mm]c_5 = \left( c_3 + c_4 \ \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right) \in \mathbb{R}[/mm]
[mm]c_5[/mm] in [mm]y[/mm] einsetzen:
[mm]y = c_5 \cdot \vec{v} + c_4 \cdot \stackrel{\sim}{w}[/mm]
[mm]\Rightarrow y \in spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm]
[mm]\Rightarrow spann(\vec{v}, \vec{w}) \subset spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm]
[mm]\Rightarrow spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w}) \qquad \Box[/mm]
> > [mm]spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm] := [mm]\left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \vec{w} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> >
> > [mm]spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm] := [mm]\left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \stackrel{\sim}{w} \quad| \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \vec{w} - c_2 \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow \left\{ \left( c_1 - c_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \right) \cdot \vec{v} + c_2 \vec{w} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
>
> Das ist nicht äquivalent, sondern gleich.
Ok, ich muss mir das etwas genauer schauen, wann man äquivalent und wann gleich schreiben kann (bin mir an dieser Stelle immer wieder unsicher...), weil ich das nicht ganz nachvollziehen kann. Denn es ist doch eine Äquivalenzumformung, wenn ich mich nicht täusche, deshalb verwende ich [mm] \Leftrightarrow.
[/mm]
Nun müsste es doch (hoffentlich) stimmen, oder?
Vielen Dank nochmals
Aber eine andere Frage:
Hier zeigen wir es doch für [mm]x \in spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm] und [mm]y \in spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm], d. h. wir zeigen es doch nur für ein Element von [mm]spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm] bzw. von [mm]spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm]. Wieso folgern wir daraus, dass dann der ganze [mm]spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm] eine Teilmenge von [mm]y \in spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm] bzw. umgekehrt sein soll?
Folgt daraus nicht allein die Schnittmenge der beiden für [mm] x[/mm] und [mm]y[/mm]?
Müssten wir es nicht allgemein für den ganzen Spann zeigen?
Also die ganze Berechnung, was wir oben durchgeführt haben für die beiden Spann(en??) durchführen:
[mm]spann(\vec{v}, \vec{w}):= \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \vec{w} \quad|\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
[mm]spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w}):= \left\{ c_1 \vec{v} + c_2 \stackrel{\sim}{w} \quad| \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\}[/mm]
Liebe Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 18.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, ich muss mir das etwas genauer schauen, wann man
> äquivalent und wann gleich schreiben kann (bin mir an
> dieser Stelle immer wieder unsicher...), weil ich das nicht
> ganz nachvollziehen kann. Denn es ist doch eine
> Äquivalenzumformung, wenn ich mich nicht täusche, deshalb
> verwende ich [mm]\Leftrightarrow.[/mm]
für zwei Aussagen gilt
$A [mm] \iff [/mm] B$
wenn jede der beiden Folgerungen $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$ und $B [mm] \Longrightarrow [/mm] A$ wahr ist.
(Beachte: $A [mm] \Longrightarrow B\;\;\; \equiv\; ((\neg [/mm] B) [mm] \vee [/mm] A)$).
Gleichheitszeichen setzt man, wenn Gleichheit gilt. Eine Gleichung kann
natürlich auch eine Aussage sein:
[mm] $3=3\,$
[/mm]
ist eine wahre Aussage,
[mm] $3=5\,$
[/mm]
ist eine falsche Aussage.
Beispiele: I.) Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $x^2=4$ $\iff$ $x=2\,.$
[/mm]
Beweis: [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] ist trivial [mm] ($2^2=4$). [/mm]
Zu [mm] "$\Longrightarrow$": [/mm] Aus [mm] $x^2=4$ [/mm] FOLGT
[mm] $x^2-4=0$ [/mm] (das ist "sogar" äquivalent)
und weiterhin folgt daraus
[mm] $(x+2)*(x-2)=0\,.$
[/mm]
Folglich gilt $x [mm] \in \{-2,2\}\,,$ [/mm] da ein Produkt in [mm] $\IR$ [/mm] genau dann verschwindet, wenn
(mindestens) einer der Faktoren dies tut. Wegen $x [mm] \ge [/mm] 0$ folgt
$x [mm] \in \{-2,2\} \cap [0,\infty[=\{2\}\,,$
[/mm]
also [mm] $x=0\,.$
[/mm]
II.) Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt NICHT [mm] $x^2=4$ $\iff$ $x=2\,.$ [/mm] (Aber [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] bleibt
hier dennoch wahr.)
Das ich das wegen dem, was im Beweis zu I.) steht, nicht nochmal beweisen
muss, ist Dir klar?
III.) Sowas wie
[mm] $x^2-4=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2-4$ $\iff$ [/mm] $(x+2)*(x-2)$
zu schreiben, macht schon keinen Sinn. Denn [mm] $x^2-4$ [/mm] ist ja keine Aussage,
bzw., soweit ich weiß, müßte man hier sogar von Aussageform sprechen.
Wenn Du das genauer wissen willst, schau' Dir erstmal den Unterschied
zwischen Aussage und Aussageform an.
Dann helfen Dir vielleicht
![[]](/images/popup.gif) Satz 1.1.49 und Satz 1.1.50
Für Gleichungen findest Du das auch etwa bei
http://www.br.de/fernsehen/ard-alpha/sendungen/grundkurs-mathematik/grundkurs-mathematik-mathematik-gleichungen104.html.
Grob gesagt kann man generell sagen: Zwei Aussageformen [mm] $A(x)\,$ [/mm] und [mm] $B(x)\,$ [/mm]
sind äquivalent, wenn sie den gleichen Definitionsbereich haben und dort
immer nur simultan wahr oder falsch sind.
P.S. Mir ist so nach dem Studium mal aufgefallen, dass während des Studiums
bei uns eigentlich auch nie wirklich der Unterschied zwischen einer Aussage
und einer Aussageform erläutert wurde. Bis vor noch gar nicht allzu langer
Zeit hätte ich
[mm] $x^2-4=0\,$ $\Rightarrow$ $|x|=2\,$
[/mm]
so erklärt, dass ich da gesagt hätte:
Aus der Aussage
[mm] $x^2+4=0$
[/mm]
folgt die Aussage
[mm] $|x|=2\,.$
[/mm]
Irgendwie *arbeitet* man auch während des Studiums permanent nach
diesem Gedanken (denke ich jedenfalls). Aber strenggenommen macht man
da was falsch, weil da ja AussageFORMEN stehen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> 8.5
> Es seien nur [mm]\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] und
> [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
Es sollte noch vorausgesetzt werden, dass [mm] \vec{v} \ne \vec{0} [/mm] ist.
>
> a) Beweisen Sie [mm]\stackrel{\sim}{w}[/mm] steht senkrecht auf
> [mm]\vec{v}[/mm].
>
> b) Beweisen Sie [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
>
> Hallo zusammen,
>
> bei den obigen Aufgaben komme ich nicht weiter und würde
> mich auf eure Unterstützung freuen.
> [mm]\\[/mm]
>
> Zu a) habe ich folgendes gedacht:
> [mm]\\[/mm]
>
> Voraussetzung:
>
> [mm]\vec{v}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] mit
> [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> Behauptung:
>
> [mm]\langle \stackrel{\sim}{w}, \vec{v} \rangle = 0[/mm]
>
> Beweis:
>
> [mm]\langle \stackrel{\sim}{w}, \vec{v} \rangle = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \stackrel{\sim}{w} \cdot \vec{v} = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \langle \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v} \right) \cdot \vec{v} = 0[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter und würde mich über einen
> Hinweis freuen.
>
> Zu b)
>
> Voraussetzung:
> [mm]\vec{v}, \vec{w}, \stackrel{\sim}{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] mit
> [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> Behauptung:
> [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
>
> Beweis:
> Aus der Behauptung folgt: [mm]\vec{w} = \stackrel{\sim}{w}[/mm]
>
> Dann folgt aus der Voraussetzung:
> [mm]\vec{w} = \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0 = - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> Ich nehme an (kann es aber nicht beweisen), dass [mm]\vec{w}[/mm]
> und [mm]\vec{v}[/mm] orthogonal sind, wenn es stimmen sollte, dann
> folgt daraus:
>
> [mm]0 = - \frac{0 }{\vec{v} \cdot \vec{v} } \cdot \vec{v}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0 = 0 \qquad \Box[/mm]
>
> Aber dieser Beweis kommt mir sehr schräg vor und
> lückenhaft ist er allemal.
>
> Ich würde mich über jede Hilfe und Hinweise freuen.
>
> Vielen Dank vorab
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
Zu b): Ich schreibe $w$ statt [mm] \stackrel{\sim}{w}. [/mm] Weiter setze ich
[mm] $A:=spann(\vec{v}, \vec{w}) [/mm] $ und $B:= [mm] spann(\vec{v}, [/mm] w) $
Wegen [mm] $\vec{v}, [/mm] w [mm] \in [/mm] A$ haben wir
(*) $B [mm] \subseteq [/mm] A$
Fall 1. [mm] \vec{v}, \vec{w} [/mm] sind linear unabhängig. Dann ist leicht zu zeigen, dass auch [mm] $\vec{v},w$ [/mm] linear unabhängig sind.
Damit ist dim(A)=2=dim(B). Mit (*) folgt: A=B.
Fall 2. [mm] \vec{v}, \vec{w} [/mm] sind linear abhängig. Wegen [mm] \vec{v} \ne \vec{0}
[/mm]
ist dim(A)=1. Aus (*) folgt dim(B) [mm] \le [/mm] 1. Wegen [mm] \vec{v} \ne \vec{0}, [/mm] folgt dann
1=dim(B)=dim(A).
(*) liefert: A=B.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 17.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo zusammen,
> > 8.5
> > Es seien nur [mm]\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] und [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
> Es sollte noch vorausgesetzt werden, dass [mm]\vec{v} \ne \vec{0}[/mm] ist.
Stimmt, aber in der Original Aufgabenstellung wurde es auch übersehen.
> > b) Beweisen Sie [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
> Zu b): Ich schreibe [mm]w[/mm] statt [mm]\stackrel{\sim}{w}.[/mm] Weiter setze ich
> [mm]A:=spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm] und [mm]B:= spann(\vec{v}, w)[/mm]
> Wegen [mm]\vec{v}, w \in A[/mm] haben wir
> (*) [mm]B \subseteq A[/mm]
Hier setzt du den Beweis von andyv voraus? Weil sonst sehe ich keinen anderen Beweis für (*).
> Fall 1. [mm]\vec{v}, \vec{w}[/mm] sind linear unabhängig. Dann ist leicht zu zeigen, dass auch [mm]\vec{v},w[/mm] linear unabhängig sind.
Hier ist mein Beweis dazu:
Voraussetzung:
(1) [mm] $\vec{v}, \vec{w}, [/mm] w [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] mit [mm] $\vec{v} \neq \mathbb{} \vec{0}$ [/mm] und $w := [mm] \vec{w} [/mm] - [mm] \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v}$
[/mm]
(2) [mm] $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] sind linear unabhängig, also es gilt:
[mm] $\lambda_1 \cdot \vec{v} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$
Behauptung:
So sind [mm] $\vec{v}$ [/mm] und $w$ ebenfalls linear unabhängig, also es gilt:
[mm] $\lambda_1 \cdot \vec{v} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot [/mm] w = [mm] \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0 [mm] \qquad \qquad [/mm] (1)$
Beweis:
Einsetzen von $w$ aus der Voraussetzung in die Gleichung (1) aus der Behauptung:
[mm] $\lambda_1 \cdot \vec{v} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v}\right) [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \vec{v} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vec{w} [/mm] - [mm] \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \vec{v} [/mm] - [mm] \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \left( \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \right) \cdot \vec{v} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
[mm] $\lambda_3 [/mm] = [mm] \left( \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \right) \in \mathbb{R}$
[/mm]
Einsetzen von [mm] $\lambda_3$ [/mm] in die Gleichung:
[mm] $\Rightarrow \lambda_3 \cdot \vec{v} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{0}$
[/mm]
Wegen Voraussetzung (2) gilt [mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \vec{v}$ [/mm] und $w$ sind linear unabhängig [mm] $\Box$
[/mm]
Richtig?
> Damit ist dim(A)=2=dim(B). Mit (*) folgt: A=B.
> Fall 2. [mm]\vec{v}, \vec{w}[/mm] sind linear abhängig. Wegen [mm]\vec{v} \ne \vec{0}[/mm]
> ist dim(A)=1. Aus (*) folgt dim(B) [mm]\le[/mm] 1. Wegen [mm]\vec{v} \ne \vec{0},[/mm] folgt dann
> 1=dim(B)=dim(A).
> (*) liefert: A=B.
Vielen Dank für die Alternativlösung.
Liebe Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mi 17.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> > > 8.5
> > > Es seien nur [mm]\vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^n[/mm] und
> [mm]\stackrel{\sim}{w}:= \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> > Es sollte noch vorausgesetzt werden, dass [mm]\vec{v} \ne \vec{0}[/mm]
> ist.
>
> Stimmt, aber in der Original Aufgabenstellung wurde es auch
> übersehen.
>
> > > b) Beweisen Sie [mm]spann(\vec{v}, \vec{w}) = spann(\vec{v}, \stackrel{\sim}{w})[/mm].
>
> > Zu b): Ich schreibe [mm]w[/mm] statt [mm]\stackrel{\sim}{w}.[/mm] Weiter
> setze ich
>
> > [mm]A:=spann(\vec{v}, \vec{w})[/mm] und [mm]B:= spann(\vec{v}, w)[/mm]
>
> > Wegen [mm]\vec{v}, w \in A[/mm] haben wir
>
> > (*) [mm]B \subseteq A[/mm]
>
> Hier setzt du den Beweis von andyv voraus? Weil sonst sehe
> ich keinen anderen Beweis für (*).
"Beweis" ist etwas schmeichelhaft, war ja nichtmal eine Zeile.
Es ist [mm] $v,\tilde [/mm] w [mm] \in [/mm] A$, da A ein Vektorraum ist folgt [mm] $B\subset [/mm] A$
Genau so folgt aber auch die andere Inklusion: Wegen $v,w [mm] \in [/mm] B$ (stelle nach w um, falls du es nicht siehst) folgt $A [mm] \subset [/mm] B$, also insgesamt $A=B$.
>
> > Fall 1. [mm]\vec{v}, \vec{w}[/mm] sind linear unabhängig. Dann ist
> leicht zu zeigen, dass auch [mm]\vec{v},w[/mm] linear unabhängig
> sind.
>
> Hier ist mein Beweis dazu:
>
> Voraussetzung:
>
> (1) [mm]\vec{v}, \vec{w}, w \in \mathbb{R}^n[/mm] mit [mm]\vec{v} \neq \mathbb{} \vec{0}[/mm]
> und [mm]w := \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v}[/mm]
>
> (2) [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{w}[/mm] sind linear unabhängig, also es
> gilt:
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{v} + \lambda_2 \cdot \vec{w} = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = 0[/mm]
>
> Behauptung:
>
> So sind [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]w[/mm] ebenfalls linear unabhängig, also es
> gilt:
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{v} + \lambda_2 \cdot w = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \qquad \qquad (1)[/mm]
>
> Beweis:
>
> Einsetzen von [mm]w[/mm] aus der Voraussetzung in die Gleichung (1)
> aus der Behauptung:
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{v} + \lambda_2 \cdot \left( \vec{w} - \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v}\right) = \vec{0}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \vec{v} + \lambda_2 \cdot \vec{w} - \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v} = \vec{0}[/mm]
>
>
> [mm]\Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \vec{v} - \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \cdot \vec{v} + \lambda_2 \cdot \vec{w} = \vec{0}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \left( \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \right) \cdot \vec{v} + \lambda_2 \cdot \vec{w} = \vec{0}[/mm]
>
> [mm]\lambda_3 = \left( \lambda_1 - \lambda_2 \cdot \frac{\langle \vec{w}, \vec{v}\rangle}{\langle \vec{v}, \vec{v}\rangle} \right) \in \mathbb{R}[/mm]
>
> Einsetzen von [mm]\lambda_3[/mm] in die Gleichung:
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_3 \cdot \vec{v} + \lambda_2 \cdot \vec{w} = \vec{0}[/mm]
>
> Wegen Voraussetzung (2) gilt [mm]\lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vec{v}[/mm] und [mm]w[/mm] sind linear unabhängig [mm]\Box[/mm]
>
> Richtig?
Ich weiß nicht, ob dir das klar ist. Zu zeigen ist: [mm] $\lambda_1=\lambda_2=0$ [/mm] (Natürlich folgt das sofort aus [mm]\lambda_2 = \lambda_3 = 0[/mm])
>
> > Damit ist dim(A)=2=dim(B). Mit (*) folgt: A=B.
>
> > Fall 2. [mm]\vec{v}, \vec{w}[/mm] sind linear abhängig. Wegen
> [mm]\vec{v} \ne \vec{0}[/mm]
>
> > ist dim(A)=1. Aus (*) folgt dim(B) [mm]\le[/mm] 1. Wegen [mm]\vec{v} \ne \vec{0},[/mm]
> folgt dann
>
> > 1=dim(B)=dim(A).
>
> > (*) liefert: A=B.
>
> Vielen Dank für die Alternativlösung.
>
> Liebe Grüße
>
> Asg
>
>
Liebe Grüße
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