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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mi 16.03.2011 | | Autor: | ddmmxx |
| Aufgabe | Gegeben ist die Zahlenfolge 1, [mm] \bruch{5}{6}, \bruch{7}{11}, \bruch{9}{18}, \bruch{11}{27},........
[/mm]
a) Ermitteln Sie [mm] a_{n} [/mm] und lim [mm] a_{n}=g [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
b) Berechnen Sie die Zahl [mm] n_{0} \varepsilon \IN [/mm] für die gilt, dass [mm] |a_{n} [/mm] - g|< [mm] \bruch{1}{10} [/mm] für alle [mm] n>n_{0} [/mm] |
moin,
im Zähler ist die differenz 2,
im nenner ist die differenz der 2. Ordnung auch 2.
Durch lange herumprobieren habe ich für [mm] a_{n}= \bruch{2*n+1}{n^{2}+1}
[/mm]
So jetzt meine Frage. In der Klassur habe ich keine zeit fürs probieren. Kennt jemand eine Formel für dieses problem?
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Hallo ddmmxx,
> Gegeben ist die Zahlenfolge 1, [mm]\bruch{5}{6}, \bruch{7}{11}, \bruch{9}{18}, \bruch{11}{27},........[/mm]
Anstelle der 1 schreiben wir [mm] \frac{3}{3}
[/mm]
>
> a) Ermitteln Sie [mm]a_{n}[/mm] und lim [mm]a_{n}=g[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> b) Berechnen Sie die Zahl [mm]n_{0} \varepsilon \IN[/mm] für die
> gilt, dass [mm]|a_{n}[/mm] - g|< [mm]\bruch{1}{10}[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
> moin,
>
> im Zähler ist die differenz 2,
> im nenner ist die differenz der 2. Ordnung auch 2.
>
> Durch lange herumprobieren habe ich für [mm]a_{n}= \bruch{2*n+1}{n^{2}+\red{2}}[/mm]
>
> So jetzt meine Frage. In der Klassur habe ich keine zeit
> fürs probieren. Kennt jemand eine Formel für dieses problem?
Da ist wohl keine direkte Formel, aber man kann die Herangehensweise systematischer machen. Wie du festgestellt hast, sind Zähler und Nenner voneinander unabhängige Folgen in [mm] \IN, [/mm] die jeweils eine Rekursion erfüllen. Startbedingungen sind auch gegeben. Daher
Erster Ansatz:
Im Zähler: [mm] Z_n=Z_{n-1}+2, Z_1=3
[/mm]
Im Nenner hast du festgestellt, dass
[mm] \qquad $2=(N_n-N_{n-1})-(N_{n-1}-N_{n-2})$
[/mm]
Umstellen nach [mm] N_n:
[/mm]
[mm] \qquad $N_n=2+2N_{n-1}-N_{n-2}$
[/mm]
Hier braucht es zwei Startfolgenglieder [mm] N_1=3, N_2=6
[/mm]
Das Ausrechnen der Rekursionen in explizite Formeln kann u.U. Arbeit machen, kann aber beim 'gezielten' Raten eine Hilfe sein.
Trotzdem hier noch ein
zweiter Ansatz für die Folge im Nenner:
Vermutung: Da die Differenz zweiter Ordnung konstant ist, ist die Folge ein quadratisches Polynom [mm] N_n=an^2+bn+c
[/mm]
Durch die ersten drei Folgenglieder ergibt sich nun ein LGS:
[mm] 1.\qquad [/mm] $a+b+c=3$
[mm] 2.\qquad [/mm] $2^2a+2b+c=6$
[mm] 3.\qquad [/mm] $3^2a+3b+c=11$
Das kann man lösen und anschließend die Lösung mit den restlichen Folgengliedern überprüfen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 16.03.2011 | | Autor: | ddmmxx |
moin,
danke für die antwort.
ich habe schwirigkeiten den grenzwert zu bilden.
hospital darf ich nicht direkt anwenden, da [mm] \infty [/mm] + 1 / [mm] \infty [/mm] + 2
bruch erweitern, kürzen, umstellen habe alles versucht. Komme einfach nicht auf den ausdruck [mm] \infty/\infty [/mm] oder 0/0
aber wenn ich den bruch mit [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] erweitere, dann komme ich auf den ausdruck [mm] \bruch{0+0}{0+0}, [/mm] darf man dann, den hospital anwenden?
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Hi,
> moin,
> danke für die antwort.
> ich habe schwirigkeiten den grenzwert zu bilden.
>
> hospital darf ich nicht direkt anwenden, da [mm]\infty[/mm] + 1 /
> [mm]\infty[/mm] + 2
L'Hospital bei Folgen? Ungewöhnlich, aber wohl denkbar. Eine bessere Idee ist unten.
Der Ausdruck [mm] \infty+c [/mm] mit c konstant macht keinen Sinn. Sowohl Zähler als auch Nenner gehen gegen [mm] \infty
[/mm]
>
> bruch erweitern, kürzen, umstellen habe alles versucht.
> Komme einfach nicht auf den ausdruck [mm]\infty/\infty[/mm] oder
> 0/0
>
> aber wenn ich den bruch mit [mm]\bruch{1}{n^{3}}[/mm] erweitere,
> dann komme ich auf den ausdruck [mm]\bruch{0+0}{0+0},[/mm] darf
> man dann, den hospital anwenden?
Der übliche Weg um
[mm] \qquad[/mm] [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{2\cdot{}n+1}{n^{2}+2} [/mm]
zu bestimmen, ist die höchste in Zähler und Nenner vorkommende Potenz von n in Zähler und Nenner auszukammern und zu kürzen. Dann sieht man, was mit der Folge passiert.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 16.03.2011 | | Autor: | ddmmxx |
würdest du dies bitte vormachen. Ist ja keine Hausaufgabe.
ausklammern kann man so großartig nicht, weil ich dann nicht weiß was ichmit der 1 im zähler und mit der 2 im nenner machen soll
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Hallo
[mm] $\limes_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2n}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{2}{n^{2}}} =\frac{0+0}{1+0}= [/mm] 0$
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Meine bescheidene Meinung: die Aufgabe ist völliger Schwachsinn !
Mir ist schon klar, was der Aufgabensteller mit "Ermitteln Sie $ [mm] a_{n} [/mm] $" meint. Er will ein "Bildungsgesetz" wissen. Aber was ist das ? Es gibt unzählige Möglichkeiten !
Beispiele:
1. [mm] a_1=1, [/mm] $ [mm] a_2=\bruch{5}{6}, a_3=\bruch{7}{11},a_4= \bruch{9}{18}, a_5=\bruch{11}{27}$ [/mm] und [mm] a_n=0 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 6.
2. [mm] a_1=1, [/mm] $ [mm] a_2=\bruch{5}{6}, a_3=\bruch{7}{11},a_4= \bruch{9}{18}, a_5=\bruch{11}{27}$ [/mm] und [mm] a_{n+5}=a_n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
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"Löse" die Aufgabe mit Beispiel 1. Dann ist g=0 und [mm] n_0=5. [/mm] Fertig !
Oder "löse " sie mit Beispiel 2. "Lösung": die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist divergent.
Sage dem Aufgabensteller, er möge in Zukunft klare und präzise Problemstellungen entwerfen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 17.03.2011 | | Autor: | ddmmxx |
moin,
Fred, der lehrer wollte höchstwahrscheinlich den lösungsweg von beispiel 1.
So, wenn g=0, dann sieht die gleichung mit der wir weiter rechnen sollen so aus: [mm] |\bruch{2n}{n^{2}+2}|< \bruch{1}{10}
[/mm]
jetzt soll [mm] n_{0} [/mm] betimmt werden.
Die betragzeichen habe ich weg vorgestellt.
dann habe ich einfach nach n aufgelöst: [mm] 0
dann [mm] pq:n_{1}=10+\wurzel{109}
[/mm]
[mm] n_{2}=10-\wurzel{109}
[/mm]
es ist aber meilen weit von der 5 entfernt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
In Beispiel 1 von mir ist
$ [mm] a_n=0 [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 6 !!!!
FRED
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