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| Aufgabe | Sei [mm] \eta: V^{n} \to [/mm] K mit dim V =n [mm] \ge [/mm] 1 eine beliebige nicht-triviale multilineare Abbildung. Entscheiden Sie, ob die folgenden Bedingungen jeweils äquivalent dazu sind, dass [mm] \eta [/mm] alternierend ist.
(1) [mm] \eta (x_{1},...,x_{n}) [/mm] = 0 für alle [mm] (x_{1},...,x_{n}= \in V^{n} [/mm] mit [mm] x_{i}=x_{j} [/mm] für gewisse i>j
(2) [mm] \eta (x_{1},...,x_{n}) [/mm] = - [mm] \eta (x_{\tau(1)},...,x_{\tau(n)}) [/mm] für alle [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n} [/mm] und jede Transposition [mm] \tau \in S_{n}
[/mm]
[mm] (3)\eta (x_{1},...,x_{n}) [/mm] = [mm] \eta (x_{\pi(1)},...,x_{\pi(n)}) [/mm] für alle [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n} [/mm] und jede Permutation [mm] \pi \in A_{n}
[/mm]
(4) [mm] \eta (x_{1},...,x_{n}) [/mm] = 0 für alle linear abhängigen Tuperl [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n} [/mm] |
Hallo
ich find diese Aufgabe sehr verwirrend weil sie einer anderen Aufgabe auf meinem Zettel ähnelt und zwar ist mir bewusst, dass alles 4 Eigenschaften von Determinantenfunktionen sind.
Mit dem unterschied, dass ich jetzt sagen soll, welche Bedingungen äquivalent zu der Eigenschaft alternierend sind. Alternierend bedeutet doch nichts anderes als, dass zwei Einträge der Abbildung übereinstimmen, dem zu folge müssten die Bedingungen 1 und 4 richtig sein.
Wohingegen Ausage 3 und 4 ehr auf die Multilinearität zurück zuführen sind oder nicht?...so habe ich dies zum mindestens nach den Definitionen für alternierend und multilinear verstanden.
LG Schmetterfee
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Hallo
> Sei [mm]\eta: V^{n} \to[/mm] K mit dim V =n [mm]\ge[/mm] 1 eine beliebige
> nicht-triviale multilineare Abbildung. Entscheiden Sie, ob
> die folgenden Bedingungen jeweils äquivalent dazu sind,
> dass [mm]\eta[/mm] alternierend ist.
> (1) [mm]\eta (x_{1},...,x_{n})[/mm] = 0 für alle [mm](x_{1},...,x_{n}= \in V^{n}[/mm]
> mit [mm]x_{i}=x_{j}[/mm] für gewisse i>j
> (2) [mm]\eta (x_{1},...,x_{n})[/mm] = - [mm]\eta (x_{\tau(1)},...,x_{\tau(n)})[/mm]
> für alle [mm](x_{1},...,x_{n}) \in V^{n}[/mm] und jede
> Transposition [mm]\tau \in S_{n}[/mm]
> [mm](3)\eta (x_{1},...,x_{n})[/mm] =
> [mm]\eta (x_{\pi(1)},...,x_{\pi(n)})[/mm] für alle
> [mm](x_{1},...,x_{n}) \in V^{n}[/mm] und jede Permutation [mm]\pi \in A_{n}[/mm]
>
> (4) [mm]\eta (x_{1},...,x_{n})[/mm] = 0 für alle linear abhängigen
> Tuperl [mm](x_{1},...,x_{n}) \in V^{n}[/mm]
> Hallo
>
> ich find diese Aufgabe sehr verwirrend weil sie einer
> anderen Aufgabe auf meinem Zettel ähnelt und zwar ist mir
> bewusst, dass alles 4 Eigenschaften von
> Determinantenfunktionen sind.
Naja, auch... aber allgemein sind es Eigenschaften einer Multilinearen bzw. alternierenden Abbildung (auch die Determinantenfunktion ist multilinear und alternierend).
> Mit dem unterschied, dass ich jetzt sagen soll, welche
> Bedingungen äquivalent zu der Eigenschaft alternierend
> sind. Alternierend bedeutet doch nichts anderes als, dass
> zwei Einträge der Abbildung übereinstimmen, dem zu folge
Ne, das ist nur ein Teil der Definition. Alternierend bedeutet, dass FALLS 2 Einträge übereinstimmen, die Funktion 0 rausspuckt..
also [mm] \pi(x_{1},...,x_{n}) [/mm] = 0 falls [mm] x_{i}=x_{j}, i\neq [/mm] j.
> müssten die Bedingungen 1 und 4 richtig sein.
Sind sie.
> Wohingegen Ausage 3 und 4 ehr auf die Multilinearität
> zurück zuführen sind oder nicht?...so habe ich dies zum
> mindestens nach den Definitionen für alternierend und
> multilinear verstanden.
Bedingungen (2) und (3) ist die Schiefsymmetrie einer Abbildung. Allgemein gilt für eine Permutation [mm] \mu \in S_{n}:
[/mm]
[mm] \pi(x_{\mu(1)},...,x_{\mu(n)}) [/mm] = [mm] sgn(\mu)\pi(x_{1},..,x_{n})
[/mm]
>
> LG Schmetterfee
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:37 Do 15.04.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
> [mm]\pi(x_{\mu(1)},...,x_{\mu(n)})[/mm] =
> [mm]sgn(\mu)\pi(x_{1},..,x_{n})[/mm]
>
ja, dass die aussage allgemein gilt ist mir klar...und ausage (2) und (3) beschreiben ja die Schiefsymmetrie..also sind sie nicht gleichzu setzen mit alternierend...
jetzt wollt ich nur wissen ob diese beiden aussagen dann äquivalent zu der aussage sind, dass eine Abbildung multilinear ist?..weil mit Multiliniarität kann ich ja beides nachweisen aber ist es deshalb auch äquivalent dazu?
LG Schmetterfee
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Kann mir bitte jemand erklären wie die Eigenschaft der Schiefsymmetrie mit alternierend und multilinear im Zusammenhang steht?...ich weiß wie ich diese Eigenschaft anchweisen kann mithilfe der Multilinearität...ist daher die Schiefsymmetrie nur auf die Multilinearität zurück zu führen?
LG Schmetterfee
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Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, wieso du glaubst, dass (2) nur wegen der Multilinearität zustande kommt. Multilinearität heißt ja nichts anderes als Linear in jedem Argument, wenn die anderen fest bleiben. Alternierend heißt - wie du schon sagtest - "wenn 2 gleich sind, dann ist das Ergebnis 0".
Schau dir doch einfach mal oBdA eine alternierende 2-Form an. (Du darfst das auf diesen Fall reduzieren, weil die anderen Argumente fest bleiben)
Dann erhälst du soetwas:
0 = [mm] \vmat{ v_i + v_j \\ v_i + v_j } [/mm] = [mm] \vmat{ v_i \\ v_i + v_j } [/mm] + [mm] \vmat{ v_j \\ v_i + v_j } [/mm] = [mm] \vmat{ v_i \\ v_j } [/mm] + [mm] \vmat{ v_j \\ v_i } [/mm] + [mm] \vmat{ v_i \\ v_i } [/mm] + [mm] \vmat{ v_j \\ v_j }
[/mm]
Da das Ganze alternierend ist, fliegen auch in der letzten gleichen die beiden Einträge mit den gleichen Zeilen raus. Da das ganze eine Gleichung ist, kannst du einen der beiden übrigen Summanden subtrahieren und hast dann die Behauptung von (2) dort stehen.
Dass Multilinearität damit nichts zu tun hat, könntest du übrigens auch am Skalarprodukt erkennen: Das ist nämlich symmetrisch, d.h. <x, y> = <y, x> und dennoch multilinear.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:00 So 18.04.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
> Hallo,
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> ich bin mir nicht ganz sicher, wieso du glaubst, dass (2)
> nur wegen der Multilinearität zustande kommt.
> Multilinearität heißt ja nichts anderes als Linear in
> jedem Argument, wenn die anderen fest bleiben. Alternierend
> heißt - wie du schon sagtest - "wenn 2 gleich sind, dann
> ist das Ergebnis 0".
>
> Schau dir doch einfach mal oBdA eine alternierende 2-Form
> an. (Du darfst das auf diesen Fall reduzieren, weil die
> anderen Argumente fest bleiben)
>
> Dann erhälst du soetwas:
>
> 0 = [mm]\vmat{ v_i + v_j \\ v_i + v_j }[/mm] = [mm]\vmat{ v_i \\ v_i + v_j }[/mm]
> + [mm]\vmat{ v_j \\ v_i + v_j }[/mm] = [mm]\vmat{ v_i \\ v_j }[/mm] +
> [mm]\vmat{ v_j \\ v_i }[/mm] + [mm]\vmat{ v_i \\ v_i }[/mm] + [mm]\vmat{ v_j \\ v_j }[/mm]
>
> Da das Ganze alternierend ist, fliegen auch in der letzten
> gleichen die beiden Einträge mit den gleichen Zeilen raus.
> Da das ganze eine Gleichung ist, kannst du einen der beiden
> übrigen Summanden subtrahieren und hast dann die
> Behauptung von (2) dort stehen.
>
somit ist Behauptung 2 gleichzusetzen mit alternierend?..seh ich das richtig?
> Dass Multilinearität damit nichts zu tun hat, könntest du
> übrigens auch am Skalarprodukt erkennen: Das ist nämlich
> symmetrisch, d.h. <x, y> = <y, x> und dennoch multilinear.
LG Schmetterfee
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hallo
habe noch weiter über behauptung 2 nach gedacht und bin zu dem Schluss gekommen, dass ich für diesen Beweis beide Eigenschaften einer Determinantenfunktion benötige. Kann ich deshalb aber einfach sagen, dass diese Behauptung äquivalent dazu ist, dass [mm] \eta [/mm] alternierend ist?..eigentlich doch schon weil sie die Eigenschaft ja besitzen muss damit der Beweis überhaupt möglich ist...
aber für Behauptung 3 benötige ich doch nur die Multilinearität oder?
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 20.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Shurakai |
Hallo,
in deiner ursprünglichen Frage war sogar gesagt, dass es sich um eine n-form auf einem n-dim. VR handelt. Der Raum der alternierenden n-Formen hat genau die Dimension 1, d.h. alle n-Formen unterscheiden sich nur um ein Skalar von der Determinantenfunktion.
Die Aussage (2) gilt aber ganz allgemein für beliebige k-Formen - schau dir doch meine Gleichung nochmal an. Eine Determinante benötigst du dafür nicht. (Die ist ja nur ein Spezialfall für k = n und die n-Form sei normiert)
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