analysis < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 24.03.2004 | | Autor: | robi |
Hallo!
Meine Frage ist, ob es für das polynom
"Y = a5 * x^b5 + a4 * x^b4 + a3 * x^b3 + a2 * x^b2 + a1 * x^b1 + a0"
(a1 bis a5 und b1 bis b5 sind variabel, nur eine Bedingung: a0=3)
fünf Nullstellen (frei wählbar) gibt. Wenn ja, wie kann man das polynom bestimmen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo robi,
willkommen im MatheRaum  !
Ich weiß nicht, ob Alayna noch antwortet oder ob es ein Versehen von ihr war, die Frage zu "reservieren". Da die kurze Fällgikeitszeit schon abgelaufen ist und ich ohnehin deine Frage nicht ganz verstanden habe frage ich jetzt lieber noch mal nach.
> Meine Frage ist, ob es für das polynom
> "Y = a5 * x^b5 + a4 * x^b4 + a3 * x^b3 + a2 * x^b2 + a1 *
> x^b1 + a0"
> (a1 bis a5 und b1 bis b5 sind variabel, nur eine
> Bedingung: a0=3)
> fünf Nullstellen (frei wählbar) gibt. Wenn ja, wie kann
> man das polynom bestimmen.
Meinst du als Schreibweise des Polynoms
$Y = [mm] a_5 [/mm] * [mm] x^5 [/mm] + [mm] a_4 [/mm] * [mm] x^4 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] * [mm] x^3 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] * [mm] x^1 [/mm] + [mm] a_0$
[/mm]
d.h., ist das Polynom 5. Grades?
Oder meinst du tatsächlich
$Y = [mm] a_5 [/mm] * [mm] x^{b_5} [/mm] + [mm] a_4 [/mm] * [mm] x^{b_4} [/mm] + [mm] a_3 [/mm] * [mm] x^{b_3} [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] x^{b_2} [/mm] + [mm] a_1 [/mm] * [mm] x^{b_1} [/mm] + [mm] a_0$
[/mm]
mit [mm] $b_1,\ldots,b_5\in\IN$?
[/mm]
Und soll die Aufgabe nun sein, für 5 fest vorgegebene Werte (nennen wir sie [mm] $x_1,\ldots,x_5$) [/mm] einfach ein Polynom der obigen Gestalt anzugeben, so dass dieses Polynom die 5 Werte als Nullstellen hat?
Falls ich mich irre, melde dich bitte wieder.
Bis gleich,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mi 24.03.2004 | | Autor: | robi |
hallo marc!
danke für deine antwort. das polynom soll das aussehen
$ Y = [mm] a_5 [/mm] * [mm] x^{b_5} [/mm] + [mm] a_4 [/mm] * [mm] x^{b_4} [/mm] + [mm] a_3 [/mm] * [mm] x^{b_3} [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] x^{b_2} [/mm] + [mm] a_1 [/mm] * [mm] x^{b_1} [/mm] + [mm] a_0 [/mm] $
haben.
für den bereich
[mm] $b_1,\ldots,\b_5\in\IN [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mi 24.03.2004 | | Autor: | robi |
und eine bedingung a0 = 3
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mi 24.03.2004 | | Autor: | robi |
ok. danke habe es schon.
habe mich vieleicht etwas schwierig und kompliziert ausgedrückt
sorry
trotzdem danke für die aufmerksamkeit
gucke gerne wieder mal vorbei
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo robi!
> Meine Frage ist, ob es für das polynom
> "Y = a5 * x^b5 + a4 * x^b4 + a3 * x^b3 + a2 * x^b2 + a1 *
> x^b1 + a0"
> (a1 bis a5 und b1 bis b5 sind variabel, nur eine
> Bedingung: a0=3)
> fünf Nullstellen (frei wählbar) gibt. Wenn ja, wie kann
> man das polynom bestimmen.
So ganz habe ich es immer noch nicht verstanden, was du eigentlich wolltest. Der Vollständigkeit halber löse ich es mal so, wie ich es verstanden habe.
Also, gegeben sind fünf Zahlenwerte [mm] $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$, [/mm] gesucht ist ein Polynom der Form
$p(x)= [mm] a_5 [/mm] * [mm] x^{b_5} [/mm] + [mm] a_4 [/mm] * [mm] x^{b_4} [/mm] + [mm] a_3 [/mm] * [mm] x^{b_3} [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] x^{b_2} [/mm] + [mm] a_1 [/mm] * [mm] x^{b_1} [/mm] + [mm] a_0$ [/mm] mit [mm] $a_0=3$ [/mm] und [mm] $p(x_1)=0,\ldots,p(x_2)=0$.
[/mm]
Der einfachte Weg ist dann über die Linearfaktorschreibweise des Polynoms; da [mm] $x_1,\ldots,x_5$ [/mm] Nullstellen sind, kann man sofort schreiben:
[mm] $p(x)=c*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*(x-x_4)*(x-x_5)$, $c\in\IR$
[/mm]
(Dieses Polynom hat offenbar die geforderten Nullstellen.)
Einzig unbestimmt ist hier bisher nur das $c$, was aber eindeutig durch die Forderung [mm] $a_0=3$ [/mm] festgelegt ist; wie, zeige ich hier:
Multipliziert man
[mm] $c*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*(x-x_4)*(x-x_5)$ [/mm] aus, so erhält man doch etwas von dieser Form
[mm] $=c*x^5+\ldots+\underbrace{c*x_1*x_2*x_3*x_4*x_5}_{=a_0}$ [/mm] (ich habe nur den ersten und letzten Summanden angegeben)
Einen Summanden ohne $x$ erhält man so nur ein einziges Mal, deswegen muß gelten:
[mm] $c*x_1*x_2*x_3*x_4*x_5=a_0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] c = [mm] \bruch{a_0}{x_1*x_2*x_3*x_4*x_5}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] c = [mm] \bruch{3}{x_1*x_2*x_3*x_4*x_5}$
[/mm]
Nun ist das Polynom eindeutig bestimmt (wenn es vom Grad 5 sein soll; es gibt natürlich noch unendlich viele Polynome mit höherem Grad); du mußt [mm] $p(x)=\bruch{3}{x_1*x_2*x_3*x_4*x_5}*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*(x-x_4)*(x-x_5)$ [/mm] einfach ausmultiplizieren, Summanden mit gleicher Potenz von $x$ zusammenfassen und letztendlich die Koeffizienten [mm] $a_5,\ldots,a_6$ [/mm] ablesen. Bei diesem Ansatz ergibt sich übrigens [mm] $b_1=1,b_2=2,\ldots,b_5=5$.
[/mm]
War die Aufgabe nun so von dir gemeint?
--Marc
|
|
|
|
