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Forum "Uni-Analysis" - analysis 1-verneinung
analysis 1-verneinung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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analysis 1-verneinung: aussage verneinung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Mo 18.04.2005
Autor: tata

hallo ihr,
ich suche Hilfe für die folgende aufgabe:

# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Man verneine die Aussage:

[mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0    [mm] \exists \delta>0 [/mm] :    [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] |x-y|< [mm] \delta [/mm]
[mm] \Rightarrow |x^2-y^2| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]


Hierbei bezeichnet  [mm] \IR [/mm] die Menge der reellen Zahlen.Welche Aussage ist richtig, die verneinte oder die ursprüngliche?

        
Bezug
analysis 1-verneinung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Mo 18.04.2005
Autor: Julius

Hallo tata!

> [mm]\forall \varepsilon>[/mm] 0    [mm]\exists \delta>0[/mm] :    [mm]\forall[/mm]
> x,y [mm]\in \IR[/mm] |x-y|< [mm]\delta[/mm]
>   [mm]\Rightarrow |x^2-y^2|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

Die Verneinung lautet so:

[mm] $\exists \varepsilon>0\, \forall\, \delta>0\, \exists [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] : [mm] [(|x-y|<\delta) \wedge (|x^2 -y^2| \ge \varepsilon)]$. [/mm]

Richtig ist die Verneinung.

Ja, es gilt sogar die nöch schärfere Aussage:

[mm] $\forall \varepsilon>0\, \forall\, \delta>0\, \existsx,y \in \IR [/mm] : [mm] [(|x-y|<\delta) \wedge (|x^2 -y^2| \ge \varepsilon)]$. [/mm]

Denn sind [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $\delta>0$ [/mm] vorgegeben, so setze ich:

[mm] $x:=\frac{\varepsilon}{\delta}$. [/mm]

[mm] $y:=\frac{\varepsilon}{\delta} [/mm] + [mm] \frac{\delta}{2}$. [/mm]

Warum gilt jetzt die Behauptung (also die Verneinung)?

Hast du eine Idee?

Tipp: 3. Binomische Formel...

Viele Grüße
Julius

Bezug
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