analytische Funktionen f <= g < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:28 Sa 08.01.2011 | | Autor: | willy89 |
| Aufgabe | Seien f ung g zwei analytische Funktionen. Es gelte |f(z)| <= |g(z)| für alle z mit g(z) [mm] \not= [/mm] 0.
Dann gilt f(z) = const * g(z). |
Hallo erstmal,
ich war bis jetzt nur aufmerksamer Leser in diesem Forum muss jetzt aber leider aktiv werden.
Ich bin bei der obigen Aufgabe am verzweifeln. Diese ist - glaube ich - nicht so schwierig, mir fehlt nur der Ansatz. Hoffe ihr könnt mir helfen.
Grüße
willy
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien f ung g zwei analytische Funktionen. Es gelte |f(z)|
> <= |g(z)| für alle z mit g(z) [mm]\not=[/mm] 0.
> Dann gilt f(z) = const * g(z).
Diese Aussage ist völliger Unsinn !
Beispiel: Sei [mm] $D:=\{z \in \IC: |z|<1 \}$ [/mm] und die Funktionen $f,g: D [mm] \to \IC$ [/mm] seien definiert durch
f(z):=z und g(z):=1.
Für $z [mm] \in [/mm] D$ gilt dann:
$|f(z)|=|z| [mm] \le [/mm] 1 =|g(z)|$.
Aber f ist nicht konstant.
Also: wie lautet die Aufgabenstellung komplett und vollständig ?
Ich vermute, dass f und g ganze Funktionen sein sollen.
Wenn das so ist, so gehe folgendermaßen vor:
1. Ist [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle von g, so überlege Dir, dass der Quotient f/g in [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität hat.
2. f/g lässt sich dann auf ganz [mm] \IC [/mm] zu ener ganzen Funktion h fortsetzen, für die gilt:
|h| [mm] \le [/mm] 1 auf [mm] \IC
[/mm]
3. Satz von Liouville.
FRED
> Hallo erstmal,
> ich war bis jetzt nur aufmerksamer Leser in diesem Forum
> muss jetzt aber leider aktiv werden.
> Ich bin bei der obigen Aufgabe am verzweifeln. Diese ist -
> glaube ich - nicht so schwierig, mir fehlt nur der Ansatz.
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Grüße
> willy
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 08.01.2011 | | Autor: | willy89 |
| Aufgabe | Prove that if f (z) and g(z) are analytic in the whole complex plane, and | f(z)| <= |g(z)|, g(z) =/= 0 , then
f (z) = const * g(z) |
Nochmal die Aufgabenstellung im Original
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Prove that if f (z) and g(z) are analytic in the whole
> complex plane,
Na also ! "analytic in the whole complex plane" bedeutet: holomorph auf [mm] \IC. [/mm] Damit sind f und g ganze Funktionen.
FRED
> and | f(z)| <= |g(z)|, g(z) =/= 0 , then
> f (z) = const * g(z)
> Nochmal die Aufgabenstellung im Original
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Der versteckte Hinweis [mm] g(z)\not= [/mm] 0 deutet darauf hin, dass du den Quotienten f/g bilden sollst. Das ergibt zwei Potenzreihen, die durcheinander dividiert werden müssen, was dann eine Reihe mit positiven und negativen Exponenten in x gäbe (Laurent-Reihe). Weil aber der Wert nicht >1 werden darf, können x, [mm] x^2,... [/mm] n nicht vorkommen (falls man die Definitionsmenge nicht einschränkt, also nach [mm] \infty [/mm] gehen kann), ebenso nicht [mm] x^{-1} [/mm] usw., falls man nach 0 gehen kann. Damit bleibt nur ein konstanter Faktor als Lösung übrig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Der versteckte Hinweis [mm]g(z)\not=[/mm] 0 deutet darauf hin, dass
> du den Quotienten f/g bilden sollst. Das ergibt zwei
> Potenzreihen, die durcheinander dividiert werden müssen,
> was dann eine Reihe mit positiven und negativen Exponenten
> in x gäbe (Laurent-Reihe). Weil aber der Wert nicht >1
> werden darf, können x, [mm]x^2,...[/mm] n nicht vorkommen (falls
> man die Definitionsmenge nicht einschränkt, also nach
> [mm]\infty[/mm] gehen kann), ebenso nicht [mm]x^{-1}[/mm] usw., falls man
> nach 0 gehen kann. Damit bleibt nur ein konstanter Faktor
> als Lösung übrig.
Toller Hinweis, wirklich .....
FRED
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