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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 10.11.2005 | | Autor: | stiefler |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal an alle,
habe folgendes problem zu lösen.
Sei K ein angeordneter Körper und seien [mm] \alpha, \beta \in [/mm] K mit [mm] \alpha \le \beta. [/mm] zeigen sie, dass zu jedem r [mm] \in [/mm] K mit [mm] \alpha\le\r\le\beta [/mm] Elemente x,y [mm] \in [/mm] K existieren mit
r=x * [mm] \alpha [/mm] + y * [mm] \beta, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1, 0 [mm] \le [/mm] x \ le 1 und x+y=1
sind x und y eindeutig bestimmt?
Habe die Gleichung x+y=1 nach x und y umgestellt und in die 2te Gleichung
r=x * [mm] \alpha [/mm] + y * [mm] \beta [/mm] eingesetzt und nach x und y aufgelößt.
Was muss ich jetzt tun?
Danke schon mal für eure tipps und lösungen
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Hallo Stiefler,
ich benutze aus Bequemlichkeit lateinische statt griechische Buchstaben und lasse den Sonderfall a = r = b weg:
Zu a [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] b definiere
x : = [mm] \bruch{b-r}{b-a} [/mm] und y := [mm] \bruch{r-a}{b-a} [/mm] .
Dann kannst Du mit diesen Werten zeigen:
1) 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
2) x + y = 1
3) xa + yb = r.
Zur Eindeutigkeit:
Du könntest eine zweite Lösung x' und y' annehmen, sodass xa + yb = x'a + y'b ist und für y = 1 - x einsetzen und für y' = 1 - x'.
Gruß, Richard
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