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| Aufgabe | Es sei K ein angeordneter Körper.
(a) Seien x, y ∈ K mit x < 1 und y > 1. Zeigen Sie:
x + y − 1 > xy.
(b) Sei n ∈ N und 0 < x1, . . . , xn ∈ K mit x1 · . . . · xn = 1.
Zeigen Sie:
x1 + · · · + xn ≥ n. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich krieg hier den Ansatz nicht richtig hin.
Mein Ansatz bei Teilaufgabe 1.
Das Negative eines positiven Elements ist negativ und das Negative eines negativen Elements ist positiv:
Bei Teilaufgabe 2 hab ich keine Ahnung!
Ich wäre für eine Hilfe beim Ansatz sehr dankbar!!!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei K ein angeordneter Körper.
>
> (b) Sei n ∈ N und 0 < x1, . . . , xn ∈ K mit x1
> · . . . · xn = 1.
>
> Zeigen Sie:
>
> x1 + · · · + xn ≥ n.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bei Teilaufgabe 2 hab ich keine Ahnung!
>
> Ich wäre für eine Hilfe beim Ansatz sehr dankbar!!!
der oben vorgeschlagene Ansatz mit Bernoulli ist gut. Etwas allgemeiner schau' einfach mal in ![[]](/images/popup.gif) Satz 12.2
Insbesondere, falls Dir die Ungleichung zwischen dem arithemtischen und geometrischen Mittel schon bekannt ist, so ist das nur eine triviale Anwendung dieser.
(Man sollte sie dann vielleicht besser als
[mm] $$a_1*...*a_n \le \left(\frac{a_1+...+a_n}{n*1_k}\right)^n$$
[/mm]
schreiben. Die Argumentation wäre dann so:
Weil hier nach Voraussetzung [mm] $a_1*...*a_n=1_K$ [/mm] ist, folgt [mm] $\left(\frac{a_1+...+a_n}{n*1_k}\right)^n \ge 1_K$ [/mm] und damit auch [mm] $\frac{a_1+...+a_n}{n*1_k} \ge 1_K\,.$ [/mm] Das letztstehende ist ersichtlich äquivalent zur Behauptung. (Multiplikation mit [mm] $n*1_K=\sum_{k=1}^n 1_K [/mm] > [mm] 0_K\,.$))
[/mm]
Übrigens:
Bei [mm] $x_1*...*x_n=1$ [/mm] ist rechterhand eigentlich die [mm] $1=1_K \in [/mm] K$ gemeint, und bei der Ungleichung [mm] $x_1+...+x_n \ge [/mm] n$ ist das [mm] $\black{n}$ [/mm] rechterhand als [mm] $n*1_K=\sum_{k=1}^n 1_K \in [/mm] K$ zu interpretieren.
Gruß,
Marcel
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