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arcsin ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Sa 26.01.2008
Autor: ahead

Hallo,

seit Tagen versuch ich mich an folgender Ableitung ohne Ergebnis:

arcsin [mm] (x/(1+x²)^0,5) [/mm]

In meiner Formelsammlung finde ich die Ableitung für arcsin (x), jedoch wenn ich diese auf meine Funtkion übertrage komme ich nicht auf das Ergebnis von 1/1+x²

Wie gehe ichan diese Aufgabe ran?

        
Bezug
arcsin ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Sa 26.01.2008
Autor: Somebody


> Hallo,
>  
> seit Tagen versuch ich mich an folgender Ableitung ohne
> Ergebnis:
>  
> arcsin [mm](x/(1+x²)^0,5)[/mm]
>  
> In meiner Formelsammlung finde ich die Ableitung für arcsin
> (x), jedoch wenn ich diese auf meine Funtkion übertrage
> komme ich nicht auf das Ergebnis von 1/1+x²
>  
> Wie gehe ichan diese Aufgabe ran?

Einfach ableiten (Kettenregel, Quotientenregel usw.):

[mm]\begin{array}{lcl} \left(\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}\right)' &=& \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{1+x^2}}}\cdot \frac{1\cdot\sqrt{1+x^2}-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x}{1+x^2}\\[.2cm] &=& \frac{\sqrt{1+x^2}}{1}\cdot\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)\cdot \sqrt{1+x^2}}\\[.2cm] &=& \frac{1}{1+x^2} \end{array}[/mm]



Dieses Ergebnis erinnert allerdings sehr an die Ableitung einer anderen Arcus-Funktion. In der Tat ist [mm] $\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arctan(x)$ [/mm] (wofür man jedoch noch gute Gründe finden müsste...), so dass man auch kurzerhand hätte schreiben können:

[mm]\left(\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)' = \left(\arctan(x)\right)' = \frac{1}{1+x^2} [/mm]


Bezug
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