arithmetische+geometri. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die ersten 3 Gloeder zweier Folgen [mm] (a_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] :
a1= -1, a2= 1, a3= 3 bzw. [mm] (b_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] :
b1= 0,5, b2= 1,5, b3= 4,5
a) Prüfen sie, ob die Folgen arithmetisch oder geometrisch fortgesetzt werden können und stellen sie für diesen Fall das expliziete Bildungsgesetz auf.
b) Berechnen sie für die in Teil a) gefundenen Folgen:
[mm] 1)\summe_{n=1}^{12} a_{n}
[/mm]
[mm] 2)\summe_{n=1}^{4} b_{n}
[/mm]
[mm] 3)\summe_{n=2}^{\infty} b_{n}^-1
[/mm]
c) Berechnen sie N für die Summe:
[mm] \summe_{n=1}^{N} [/mm] 3^-n = 121/243 (Hinweis= log3 243=5) |
Ich bräuchte jetzt mal etwas Hilfe bei b) 3 und beim c) Teil,da weiss ich leider nicht was ich da jetzt machen muss,danke.
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Hallo scientyst!
Was hast Du denn herausgefunden über [mm] $b_n$?
[/mm]
Dabei handelt es sich doch um eine geometrische Folge mit
[mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] b_1*q^{n-1} [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*3^{n-1}$
[/mm]
Um Deine beiden offenen Fragen beantworten zu können, benötigst Du die Formeln für die geometrischen Reihen:
[mm] $s_N [/mm] \ = \ [mm] b_1*\bruch{q^N \ - \ 1}{q-1}$ [/mm] bzw. [mm] $s_\infty\ [/mm] = \ [mm] b_1*\bruch{1}{q-1}$
[/mm]
Bei Aufgabe b.3) brauchst Du lediglich in die entsprechende Formel einsetzen.
Bei Aufgabe c.) musst Du die obige Formel nach $N_$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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Kann mir bitte mal jemand Schritt für Schritt zeigen wie ich diese Formel
[mm] $s_N [/mm] \ = \ [mm] b_1*\bruch{q^N \ - \ 1}{q-1}$
[/mm]
nach N umstelle,danke.
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> Kann mir bitte mal jemand Schritt für Schritt zeigen wie
> ich diese Formel
>
> [mm]s_N \ = \ b_1*\bruch{q^N \ - \ 1}{q-1}[/mm]
>
> nach N umstelle,danke.
>
>
Hallo,
also multipl. mit q-1:
[mm] s_N\cdot [/mm] (q-1) = [mm] b_1\cdot (q^N-1)
[/mm]
[mm] \frac{s_N\cdot (q-1)}{b_1}+1 [/mm] = [mm] q^N
[/mm]
Dann auf beiden Seiten Logarithmus zur Basis q.
(oder Kehrwert nehmen und log zur Basis [mm] 1\slash [/mm] q falls q<1).
Gruss,
Mathias
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wie wende ich das denn jazt bei meiner Aufgabe an??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Di 10.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo s
Statt log Basis q einfach ln oder lg anwenden .
UND WIR GEHEN NICHT IM TELEGRAMMSTIL MITEINANDER UM
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zur c) noch einmal:
Du kommst ja nach dem Ausrechnen der geometrischen Reihe auf
[mm] $\frac{1-3^N}{3^N-3^{N+1}} [/mm] = [mm] \frac{3^N-1}{2 \cdot 3^N}$.
[/mm]
Und dies soll gleich [mm] $\frac{121}{243} [/mm] = [mm] \frac{242}{486} [/mm] = [mm] \frac{243-1}{2 \cdot 243}$
[/mm]
sein...
Nun vergleiche mal beides und beachte den Tipp... 
Liebe Grüße
Stefan
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Danke Stefan konnte dir jetzt soweit folgen,aber wie kommst du denn auf
[mm] \frac{1-3^N}{3^N-3^{N+1}} [/mm] = [mm] \frac{3^N-1}{23^N}. [/mm] Und wie kommst du dann unter dem Bruchstrich auf [mm] 23^n.
[/mm]
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Hallo scientyst!
Hier wird lediglich ein  Potenzgesetz angewandt und zusammengefasst ...
[mm] $3^N-3^{N+1} [/mm] \ = \ [mm] 3^N-3^N*3^1 [/mm] \ = \ [mm] 1*3^N-3*3^N [/mm] \ = \ [mm] (1-3)*3^N [/mm] \ = \ [mm] -2*3^N$
[/mm]
Nun den gesamten Bruch mit $(-1)_$ erweitern ...
Gruß vom
Roadrunner
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Kannst du mir bitte mal ganz genau und Schritt für Schritt zeigen wie du auf das Ergebnis kommst,irgendwie bekomme ich dein Ergebnis nicht heraus,danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Kannst du mir bitte mal ganz genau und Schritt für Schritt
> zeigen wie du auf das Ergebnis kommst,irgendwie bekomme ich
> dein Ergebnis nicht heraus,danke.
Roadrunner hatte es eigentlich schon geschrieben, wie es geht:
[mm] \frac{1-3^N}{3^N-3^{N+1}} =\frac{1-3^N}{3^N-3 \cdot 3^{N}} =\frac{1-3^N}{3^N(1-3)}
=\frac{1-3^N}{-2 \cdot 3^N}= \frac{3^N-1}{2 \cdot 3^N}
[/mm]
Nun klarer?
Grüße
Astrid
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