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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | Die ersten beiden Glieder einer arithmetischen Folge lauten 8 und 15:
a) Wie groß ist das 10. Folgeglied?
b) Geben Sie die arithmetische Folge in expliziter und rekursiver Schreibweise an.
c) Wie groß ist die Summe der ersten n Folgeglieder in Abhängigkeit von n? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu a)
[mm] a_n=a_1+(n-1)*d [/mm] mit [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] a_{10}=8+(10-1)*7
[/mm]
[mm] =>a_{10}=71
[/mm]
zu b)
[mm] a_n=1+7n [/mm]
[mm] a_1=8 [/mm] und [mm] a_n=a_{n-1}+7
[/mm]
zu c) hier habe ich mit der Fragestellung Probleme. ist hier gemein:
[mm] \summe_{n=1}^n(1+7n) [/mm] ?
wenn ja, wie soll man das berechnen?
[mm] \summe_{n=1}^n [/mm] 1 [mm] +7\summe_{n=1}^n [/mm] n ?
so komme ich jedenfalls nicht wirklich weiter. Hilfe
Mira
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Hallo miradan!
> Die ersten beiden Glieder einer arithmetischen Folge lauten
> 8 und 15:
> a) Wie groß ist das 10. Folgeglied?
> b) Geben Sie die arithmetische Folge in expliziter und
> rekursiver Schreibweise an.
> c) Wie groß ist die Summe der ersten n Folgeglieder in
> Abhängigkeit von n?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> zu a)
> [mm]a_n=a_1+(n-1)*d[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
> [mm]a_{10}=8+(10-1)*7[/mm]
> [mm]=>a_{10}=71[/mm]
>
> zu b)
> [mm]a_n=1+7n[/mm]
> [mm]a_1=8[/mm] und [mm]a_n=a_{n-1}+7[/mm]
>
> zu c) hier habe ich mit der Fragestellung Probleme. ist
> hier gemein:
> [mm]\summe_{n=1}^n(1+7n)[/mm] ?
> wenn ja, wie soll man das berechnen?
> [mm]\summe_{n=1}^n[/mm] 1 [mm]+7\summe_{n=1}^n[/mm] n ?
> so komme ich jedenfalls nicht wirklich weiter. Hilfe
> Mira
Meinst du [mm] \summe_{i=1}^n(1+7i)? [/mm] Das ist wohl gemeint. Und dann gilt:
[mm] $\summe_{i=1}^n(1+7i)=\summe_{i=1}^n 1+\summe_{i=1}^n 7i=n+7\summe_{i=1}^n [/mm] i $
Schaffst du den Rest alleine? (Kannst eine Formel anwenden, die man oft als Übung zur Induktion beweisen muss.  )
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
sorry, aber ich kann nichts damit anfangen.
Aber mein schlaues Buch sagt:
Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Reihe (das ist hier doch gemeint, oder?) ist:
[mm] S_n =\bruch{n}{2}(a_1+a_n)
[/mm]
ersetzt man hierin für
[mm] a_n=a_1+(n-1)*d, [/mm] so ergibt sich weiter:
[mm] S_n=\bruch{n}{2}\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)
[/mm]
[mm] =n*a_1+\bruch{n\left(n-1\right)d}{2}
[/mm]
wenn ich jetzt [mm] a_1 [/mm] und d einsetze, bekomme ich:
[mm] S_n=\bruch{7n^2-3n}{2}
[/mm]
ist das damit gemeint?
Grüße Mira
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Hallo miradan!
> sorry, aber ich kann nichts damit anfangen.
Echt nicht? Was ich meinte, ist: [mm] $\summe_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] - und jetzt sag bloß, das kennst du nicht!? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Jedenfalls kann ich mit deiner Rechnung hier nichts anfangen...
> Aber mein schlaues Buch sagt:
> Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Reihe
> (das ist hier doch gemeint, oder?) ist:
> [mm]S_n =\bruch{n}{2}(a_1+a_n)[/mm]
>
> ersetzt man hierin für
> [mm]a_n=a_1+(n-1)*d,[/mm] so ergibt sich weiter:
>
> [mm]S_n=\bruch{n}{2}\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)[/mm]
>
> [mm]=n*a_1+\bruch{n\left(n-1\right)d}{2}[/mm]
>
> wenn ich jetzt [mm]a_1[/mm] und d einsetze, bekomme ich:
> [mm]S_n=\bruch{7n^2-3n}{2}[/mm]
>
> ist das damit gemeint?
Hast du es mal ausprobiert? Die ersten Glieder sind doch: 8,15,22,29,36.
Also wäre die Summe der ersten 1 Ziffern =8 - nach deiner Formel kommt aber 2 raus. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Wobei ich gerade feststelle, dass in deinem Fall für n=2 die 8 rauskäme... Vielleicht hast du nur irgendwo den Index verschoben?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
ja, meine Rechnung/Formel stimmt. Hatte nur einen Rechenfehler drin:
[mm] 8n*\bruch{7n^2-7n}{2}
[/mm]
[mm] \not=\bruch{4n+7n^2-7n}{2} [/mm]
sondern:
[mm] \bruch{16n-7n^2-7n}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{7n^2+9n}{2}
[/mm]
jetzt stimmen auch die Werte. ;) n=1 [mm] S_n=8 [/mm] n=2 [mm] S_n= [/mm] 23 (8+15)
danke trotzdem vielmals
Mira
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 26.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mira!
Diese Formel ist schon richtig, allerdings musst Du da irgendwie falsch eingesetzt haben:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] n*a_1+\bruch{n*(n-1)*d}{2} [/mm] \ = \ [mm] n*8+\bruch{n*(n-1)*7}{2} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{7n^2+9n}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 So 26.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mira!
Für arithmetische Folgen [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+(n-1)*d$ [/mm] gibt es auch eine Summenformel mit:
[mm] $\red{s_n \ =} [/mm] \ \ [mm] a_1+a_2+a_3+..+a_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{n}{2}*\left[2*a_1+(n-1)*d\right]}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 So 26.08.2007 | | Autor: | miradan |
hallo,
da ich noch seeeeeeeeeeeehr lange zum tippen brauche, kam deine Antwort während ich noch mit meinem Geistesblitz zu gange war. ist meine BERECHNUNG NUN RICHTig?
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