arithmetische Folge < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei V die Menge aller arithmetischen Folgen, d.h. [mm] (x_{n})_{n \in \IN} \in [/mm] V genau dann,wenn [mm] x_{n} \in [/mm] K und [mm] x_{n+2}-x_{n+1}=x_{2}-x_{1} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
a) Man beweise,dass V ein K-Unterraum des K-Vektorraums [mm] Abb(\IN,K) [/mm] aller K-wertigen Folgen ist.
b) Man bestimme die Dimension und eine Basis von V. |
Guten Morgen^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe und komme nicht mehr weiter.
a) Zunächst kann ich schonmal sagen,dass [mm] Abb(\IN,K)=\{f:\IN-->K|f ist Abbildung\} [/mm] gilt und dass das ein Vektorraum über dem Körper K ist.
Jetzt muss ich zeigen,dass V ein K-Unterraum dieses Vektorraums ist.
Ich versteh nur nicht, was K-wertige Folgen sein sollen.Was bedeutet das denn,wenn eine Folge K-wertig ist?
So,damit V ein K-Unterraum ist,muss gelten:
1. 0 [mm] \in [/mm] V
2. [mm] \forall v_{1},v_{2} \in [/mm] V: [mm] v_{1}+v_{2} \in [/mm] V.
3. [mm] \forall \lambda \in Abb(\IN,K), [/mm] v [mm] \in V:\lambda*v \in [/mm] V
1. Der Nullvektor muss in V enthalten sein.
Mein Problem,dass ich nicht weiß,wie ich das genau zeigen soll,was muss ich denn jetzt für das n einsetzen?Etwa 0 und hab ich dann auch x=0?
Ich denke eher nicht,aber ich finde hier keinen richtigen Ansatz.
2. Kann ich mir hier zwei beliebige Elemente aus V nehmen,also z.B. [mm] x_{n_{1}},x_{n_{2}} [/mm] und muss zeigen,dass [mm] x_{n_{1}}+x_{n_{2}} \in [/mm] V ist.
Dafür muss ich zeigen,dass [mm] x_{n_{1}}+x_{n_{2}} \in [/mm] K ist und [mm] x_{n_{1}+2}-x_{n_{2}+1}=x_{2}-x_{1} \forall [/mm] n [mm] \in \IN.
[/mm]
Aber wie kann ich denn zeigen,dass [mm] x_{n_{1}}+x_{n_{2}} [/mm] in K lieget,denn ich weiß ja so gut wie gar nichts über K.Da steht nur,dass das ein Körper ist?
3. Ich hab also folgende Abbildung [mm] Abb(\IN,K)=\{f:\IN-->K|f ist Abbildung\}.
[/mm]
Ich muss zeigen,dass ein beliebiges Element aus dieser Abbildung multipliziert mit einem Element aus V wieder ein Element aus V ist.
Das Problem ist aber,dass ich nicht weiß,was genau ein Element aus der Abbildung ist,ist es ein Element aus [mm] \IN [/mm] oder K oder ist es allgmein eine Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach K.
Wenn es eine Abbildung ist,dann müsste ich ja ein Abbilgung mit einer Folge multiplizieren.Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen wie das gehen soll.
Das waren meine Ansätze,ich hoffe ihr könnt mir weiterhlefen.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Erklärungen:
1. Eine K-wertige Folge ist eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] K für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
2. Sind [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] K -wertige Folgen, so ist die Summe [mm] (x_n)+(y_n) [/mm] def. durch:
$ [mm] (x_n)+(y_n) =(x_n+y_n)= (x_1+y_1, x_2+y_2, [/mm] ...)$
Das hast Du oben geschrieben:
3. $ [mm] \forall \lambda \in Abb(\IN,K), [/mm] $ v $ [mm] \in V:\lambda\cdot{}v \in [/mm] $ V
Das ist Unfug !
Richtig:
3. $ [mm] \forall \lambda \in [/mm] K, $ v $ [mm] \in V:\lambda\cdot{}v \in [/mm] $ V
Ist [mm] (x_n) [/mm] eine K-wertige Folge und [mm] \lambda \in [/mm] K, so ist [mm] \lambda*(x_n) [/mm] def. durch
$ [mm] \lambda*(x_n)=(\lambda*x_1, \lambda*x_2, [/mm] ...)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
Dann hätte ich bei [mm] 2.\forall v_{1},v_{2} \in V:v_{1}+v_{2} \in [/mm] V:
Seien [mm] x_{n},y_{n} [/mm] K-wertige Folgen.Dann gilt:
[mm] (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}...) [/mm] und muss zeigen,dass
[mm] (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}...) \in [/mm] K und
[mm] (x_{n+2}+y_{n+2})-(x_{n+1}+y_{n+1})=(x_{2}+y_{2})-(x_{1}+y_{1}).
[/mm]
Kann ich das letztere mit vollständiger Induktion über n beweisen?
Beim ersten versteh,also [mm] (x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}...) \in [/mm] K, verstehe ich immer noch nicht wie ich das zeigen soll.Kann ich es vielleicht damit begründen,dass die [mm] x_{n} [/mm] K-wertig sind,dann muss auch die Summe K-wertig sein? Aber das ist ja kein richtiger Beweis.
Und bei 3. [mm] \lambda*(x_{n})=(\lambda*x_{1},\lambda*x_{2},...) [/mm] und muss zeigen,dass [mm] (\lambda*x_{1},\lambda*x_{2},...) \in [/mm] K und [mm] \lambda*x_{n+2}-\lambda*x_{n+1}=\lambda*x_{2}-\lambda*x_{1}.
[/mm]
Kann ich das auch so machen wie bei 2. ?
Und zu 1: 0 [mm] \in [/mm] V. Mit 0 ist natürlich der Nullvektor gemeint.Die Folge die nur aus dem Nullvektor besteht,müsste doch so aussehen (0,0,0,...),aber wie kann ich denn zeigen,dass der Nullvektor tatsächlich in V enthalten ist?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach überprüfen ob 0,0,0 eine ar. folge ist nach Def.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Man bestimme die Dimension und eine Basis von V. |
Hallo,
ich hab mich mal an die b) rangemacht.
Also ertmal eine allgemeine Frage.In der Aufgabe steht zuerst das Wort Dimension und dann Basis,eigentlich bestimmt man doch zuerst eine Basis und "liest" dann quasi die Dimension ab.
Soll das in der Aufgabe irgendein Hinweis sein,dass man zuerst die Dimension bestimmen kann und dann eine Basis oder hab ich das überinterpretiert?
So, jetzt zur Basis.Also ich weiß,dass eine Basis ein Erzeugendensystem linear unabhängiger Vektoren ist.
Für das Erz.system muss gelten: [mm] Lin_{K}B=V [/mm] (B steht für Basis),also
[mm] V=\{\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}*b_{i}| n \in \IN, b_{1}...b_{n} \in B,\lambda_{1}...\lambda_{n} \in K\}
[/mm]
und die [mm] b_{i} [/mm] müssen linear unabhängig sein.
So,un die Basis erzeugt doch jetzt alle [mm] x_{n} [/mm] für die gilt:
[mm] x_{n} \in [/mm] K und [mm] x_{n+2}-x_{n+1}=x_{2}-x_{1}.
[/mm]
Also ich weiß jetzt was genau gesucht ist,aber ich finde keinen Ansatz für eine solche Basis.Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll.
Wäre lieb,wenn mir jemand einen Tipp geben könnte,wie ich hier anfangen kann.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 01.12.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
Überleg dir doch einfach mal, durch wieviele Folgenglieder eine arithmetische Folge bestimmt ist. Also z. B. in [mm] $\IR$: [/mm] Was muß ich dir mindestens sagen, damit du die Folge in voller Schönheit hinschreiben kannst? Wenn du das geklärt hast, kannst du die Dimension vielleicht erraten.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Mahlzeit!
>
> Überleg dir doch einfach mal, durch wieviele Folgenglieder
> eine arithmetische Folge bestimmt ist. Also z. B. in [mm]\IR[/mm]:
> Was muß ich dir mindestens sagen, damit du die Folge in
> voller Schönheit hinschreiben kannst? Wenn du das geklärt
> hast, kannst du die Dimension vielleicht erraten.
Ist sie etwa durch 2 Folgenglieder bestimmt?
Meinst du das so,dass du mir mindestens sagen musst,wie die ersten zwei Glieder der Folge in Beziehung zueinander stehen,damit ich die ganze Folge aufschreiben kann?
Ist die Folge hier villeicht undendlich,dann wäre auch die Dimension unendlich oder?
Aber ne,das kann doch nicht sein,denn dann hätte sie ja keine Basis.
lg
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Arithmetisch bedeutet:
$ [mm] x_{n+2}-x_{n+1}=x_{2}-x_{1} [/mm] $
In Worten: die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist stets konstant.
Setze [mm] d:=x_2-x_1
[/mm]
Dann ist [mm] x_2= x_1+d
[/mm]
Mit Induktion:$ [mm] x_n= x_1+(n-1)*d$
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy, nimm mal K=R
dann hast du eine Folge f_0gegeben durch [mm] f_1: x_0, x_0+r,x_0+2r [/mm] usw
eine andere durch [mm] \alpha*f_1
[/mm]
eine zweite [mm] f_2 [/mm] durch [mm] x_1, x_1+s,..
[/mm]
und [mm] \beta*f_2
[/mm]
wieviele solche Folgen brauchst du um eine Folge [mm] x_3, x_3+t,..
[/mm]
linear zu kombinieren?
du solltest wie hier, dir selbst das, mit dem du grade umgehst mitBeispilen veranschaulichen, und nicht rumraten!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo mandy, nimm mal K=R
> dann hast du eine Folge f_0gegeben durch [mm]f_1: x_0, x_0+r,x_0+2r[/mm]
> usw
> eine andere durch [mm]\alpha*f_1[/mm]
> eine zweite [mm]f_2[/mm] durch [mm]x_1, x_1+s,..[/mm]
> und [mm]\beta*f_2[/mm]
> wieviele solche Folgen brauchst du um eine Folge [mm]x_3, x_3+t,..[/mm]
>
> linear zu kombinieren?
> du solltest wie hier, dir selbst das, mit dem du grade
> umgehst mitBeispilen veranschaulichen, und nicht rumraten!
Versuch ich ja,aber wenn ich gar keine Ahnung,dann muss ich wohl raten.
Ne,also ich versuch mir das jetzt mal klarzumachen.
Du hast gesagt,wir wollen eine Folge [mm]x_3, x_3+t,..[/mm] linear kombinieren.
Ich hab Folgen [mm] \alpha*f_{1} [/mm] und [mm] \beta*f_{2} [/mm] usw. mit denen ich die oben genannte Folge kombinieren will.Also rechne ich
[mm] \alpha*f_{1}+\beta*f_{2}+...=x_3, x_3+t,..,also
[/mm]
[mm]\alpha*x_0, \alpha*(x_0+r),\alpha*(x_0+2r)...[/mm]+[mm]\beta*x_0, \beta*(x_0+s),\beta*(x_0+2s)...[/mm][mm] =x_3, x_3+t,..,
[/mm]
Also ich habe jetzt wirklich lange überlegt und bin zu dem Entschluss gekommen,,dass man das so allgmein gar nicht sagen kann (lass mich raten,kann man doch), weil es von den Koeffizienten,also [mm] \alpha, \beta [/mm] usw. abhängt.
Oder aber man braucht 3 Folgen um eine Folge [mm] x_3, x_3+t,.., [/mm] zu konstruieren,aber das ist ganz ehrlich geraten,ich wüsste nicht wieso das so sein sollte.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mi 01.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
leduarts Ratschlag mit dem Herumprobieren ist so schlecht nicht, er ist sogar ausgesprochen gut.
Kannst du die Folge
6, 5, 4, 3, ...
aus den beiden Folgen
0, 1, 2, 3, ...
und
1, 2, 3, 4, ...
zusammenfriemeln (wie der Laie sagt)?
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo!
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> leduarts Ratschlag mit dem Herumprobieren ist so schlecht
> nicht, er ist sogar ausgesprochen gut.
>
> Kannst du die Folge
> 6, 5, 4, 3, ...
> aus den beiden Folgen
> 0, 1, 2, 3, ...
> und
> 1, 2, 3, 4, ...
> zusammenfriemeln (wie der Laie sagt)?
Ja das kann ich denn,6*(1,2,3,4)+-7*(0,1,2,3)=(6,5,4,3).
Heißt das jetzt,ich brauche immer mindestens 2 Folgen,um eine dritte linear zu kombinieren?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das sollst du - begründet- rauskriegen.
a) mach dirs nochmal an anderen Folgen klar: 1; 1.3;1.6;..
17; [mm] 17+\pi; 17+2\pi...
[/mm]
kannst du damit
0.5, [mm] 0.5+\wurzel{2}; 0.5+2*\wurzel{2}... [/mm] herstellen
wenn ja dann hatte ich dir ja schon allgemeinere Folgen mit r,t,s vorgeschlagen.
Du MUSST mehr selbst rumprobieren, bevor du wieder eine Frage stellst.
Gut wär hier etwa gewesen wenn dein post etwa so wäre: ich hab das noch mit 7 anderen, sehr verschiedenen Folgen probiert, es scheint das...
Dann habich das versucht allgemein zu zeigen, dabei bin ich an der.... Stelle gescheitert
So scheint es mir, dass wir dir mit den Minischrittchen, die du dir nur selbst zutraust einen Bärendienst tun mit unseren Tips.
Versuch mal länger an den Tips zu sitzen und vorallem Erfahrung mit selbst gemachten aufsteigend schwierigen Bsp. zu sammeln. Wirklich lernen kann man nur durch Selbermachen.
Die ratschläge kommen nur, weil ich ja sehe, dass du dir Mühe gibst, aber dir zu wenig zutraust.
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> Das sollst du - begründet- rauskriegen.
> a) mach dirs nochmal an anderen Folgen klar: 1;
> 1.3;1.6;..
>
> 17; [mm]17+\pi; 17+2\pi...[/mm]
> kannst du damit
> 0.5, [mm]0.5+\wurzel{2}; 0.5+2*\wurzel{2}...[/mm] herstellen
> wenn ja dann hatte ich dir ja schon allgemeinere Folgen
> mit r,t,s vorgeschlagen.
Ok,also ich hab mir versucht es an dieser Folge klar zu machen und hab herausgefunden,dass es bei dieser Folge nicht klappt.Ich habe so gerechnet:
a*(1, 1.3, 1.6,...)+b*(17, [mm] 17+\pi, 17+2*\pi,...)=(0.5, 0.5+\wurzel{2}, 0.5+2*\wurzel{2},...).
[/mm]
Daraus kann ich ein Gleichungssysten erstellen:
a*1+b*17=0.5
[mm] a*1.3+b*(17+\pi)=0.5+\wurzel{2}
[/mm]
Es gibt natürlich noch mehr Gleichungen,aber ich belasse es mal bei diesen zwei Gleichungen,da ich nur zwei Variablen habe.
Löse ich das Gleichungssystem,bekomme ich ganz komische Zahlen,unzwar a=-10.4740349, b=0.6455314646.
Wenn ich jetzt a und b einsetze bekomme ich nicht immer das raus,was in der dritten Folge steht.
Also hab ich mir jetzt selbst Beispiele ausgedacht mit anderen Folgen und versucht,es mir an denen klarzumachen.
1.Beispiel:
Ist die Folge 1.(3,6,9,12,...) linear kombinierbar durch die Folgen 2.(1,2,3,4,5,...) und 3.(2,3,4,5,...)
Hier hab ich auch Gleichungssystem aufgestellt wie oben und dann ist mir erst nachdem ich a=3 und b=0 berechnet hatte, aufgefallen,dass die Folge 1. ein Vielfaches der Folge 2. ist.
Also kann ich hier eine folge durch zwei andere linear kombinieren.
2.Beispiel:
Da ich bei dem von dir angegebenen Beispiel die Folge nicht durch zwei andere darstellen konnte,hab ich gedacht,mal auszuprobieren, ob ich eine Folge durch 3 andere Folgen darstellen kann.
Kann man die Folge 1.(1, 1.5, 2, 2.5,...) durch die Folgen 2.(0,2,4,6,...) und 3.(1,4,7,11,...) und 4.(1, 1.3, 1.6,...) darstellen?
Also rechne ich wieder a(0,2,4,6,...)+b*(1,4,7,11,...)+c*(1, 1.3, 1.6,...)=(1, 1.5, 2, 2.5,...)
Und bekomme ein Gleichungssystem. Da hab ich aber am Ende 0=0 raus, also hab ich eine Variable zuviel und könnte die frei wählen.
Dann hab ich mal einfach die vierte Folge weggelassen und versucht,die 1.Folge durch die 2. und 3. darzustellen.Das hat geklappt, ich hatte für a=-1.25 und für b=1 raus.
Und noch ein drittes Beipiel:
Kann man die Folge (3,5,6,8,9,11,12,...) durch die Folge (1,0,1,0,...) und (0,1,0,1,...) darstellen?
Das geht offensichtlich nicht, wobei ich denke,dass ich dieses Beispiel gar nicht nehmen sollte,da es um Folgen der Form [mm] f:(x_0, x_0+r,x_0+2r,...) [/mm] ging.
Also ich hab jetzt festgestellt,dass ich grundsätzlich schon eine Folge durch zwei andere linear kombinieren kann,nur bei dem Beispiel mit [mm] \pi [/mm] und [mm] \wurzel{2} [/mm] hat es nicht geklappt.Es kann aber auch sein,dass ich mich verrechnet habe,obwohl ich nochmal nachgerechnet habe.
Dann kann ich allgemein sagen,dass ich eine Folge [mm] f_{3}:(x_3, x_3+r,x_3+2r,...) [/mm] durch zwei andere Folgen [mm] \alpha*f_{1} [/mm] und [mm] \beta*f_{2} [/mm] darstellen kann.
Ist das so einigermaßen in Ordnung?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Fr 03.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Dann kann ich allgemein sagen,dass ich eine Folge
> [mm]f_{3}:(x_3, x_3+r,x_3+2r,...)[/mm] durch zwei andere Folgen
> [mm]\alpha*f_{1}[/mm] und [mm]\beta*f_{2}[/mm] darstellen kann.
>
> Ist das so einigermaßen in Ordnung?
Nein, das ist es überhaupt noch nicht! Du hast mit Beispielen herumprobiert, was wir dir auch geraten hatten, und hast dich offenbar in einem Fall verrechnet und in einem anderen Fall den zu untersuchenden VR der arithmetischen Folgen verlassen. Immerhin hast du aber Indizien dafür gefunden, daß dieser VR 2dimensional sein könnte.
Ein allgemeiner Beweis muß aber allumfassend sein! Nimm dir mal meine beiden Folgen her: 1, 2, 3, ... und 0, 1, 2, ...
1. Frage: Sind die beiden lin.unabhängig? --> nachrechnen
2. Frage: Bilden sie ein Erz.-system?
Kann man/kannst du die allgemeine arithm. Folge a, a+r, a+2r, a+3r, ... als Linearkombination darstellen? --> nachrechnen
Du sollst vermutlich u. a. an dieser Aufgabe lernen, daß Vektoren nicht immer die Pfeile sind, die man in der Schule vorgesetzt kriegt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ein allgemeiner Beweis muß aber allumfassend sein! Nimm
> dir mal meine beiden Folgen her: 1, 2, 3, ... und 0, 1, 2,
> ...
> 1. Frage: Sind die beiden lin.unabhängig? -->
> nachrechnen
Ich hab es nachgerechnet und sie sind linear unabhängig.
>
> 2. Frage: Bilden sie ein Erz.-system?
> Kann man/kannst du die allgemeine arithm. Folge a, a+r,
> a+2r, a+3r, ... als Linearkombination darstellen? -->
> nachrechnen
Das hab ich auch nachgerechnet und sie bilden ein Erzeugendensystem,aber nur wenn a und p nicht beide gleichzeitig 0 sind.Denn wenn a und p beide gleichzeitig =0 wären,dann hätte ich ja die Folge (0,0,0,...) und die ist,denke ich,keine arithmetische Folge,wobei in der Definition nichts davon steht, dass a und r nicht gleich sein dürfen.
Ja gut,dann kann das doch eine arithmetische Folge sein.
Ich hab das so gerechnet:
p*(1,2,3...)+s*(0,1,2,...)=(a,a+r,a+2r,...)
p=a
2p+s=a+r
3p+2s=a+2r
Also habe ich p=a und s=r-p.Es ergibt sich auch kein Widerspruch,d.h. die beiden Folgen bilden ein Erzeugendensystem der arithemtischen Folgen.
Da nun die beiden Folgen linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem der arithmetischen Folgen bilden, bilden sie eine Basis der arithmetischen Folgen.
Und diese Basis hat die Dimension 2.
Also wenn man "einfach so" eine Basis findet,hab ich mir mal noch eine überlegt,unzwar ((2,3,4,...),(3,4,5,...)).
Ich habe diese beiden Folgen auf lineare Unabhängigkeit überprüft, und sie sind linear unabhängig.
Dann hab ich überprüft,ob sie ein Erzeugendensystem der aritm.Folgen bilden,also:
p*(2,3,4,...)+s*(3,4,5,...)=(a,a+r,a+2r,...)
Dann hab ich ein Gleichungssystem
2p+3s=a
3p+4s=a+r
4p+5s=a+2r
Wobei ich mir jetzt etwas unsicher bin,wie ich dieses Gleichungssystem interpretieren soll.
Bildet es etwa genau dann ein Erzeugendensystem,wenn sich kein Widerspruch ergibt und wenn p und s ungleich 0 sind?
Das ist wieder der Fall,wenn a und p nicht 0 sind.
Das heißt,ich könnte auch (2,3,4,...),(3,4,5,...) als Basis der arithmetischen Folgen nehmen,sehe ich das richtig so?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Sa 04.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum kannst du nicht nach einigen rumprobieren einfach
x1,x1+r,..
x2,x2+s,...
linear kombinieren zu
x3,x3+t,...
daraus kommt
I [mm] \alpha*x1+\beta*x_2=x3
[/mm]
II [mm] \alpha*r+\beta*s=t
[/mm]
alle weiteren wie
[mm] \alpha*(x1+n*r)+\beta*(x2+n*s)=x3+n*t
[/mm]
sind dann, wenn du n*II abziehst wieder I
also musst du nur die 2 Gleichungen lösen
natürlich kann man mit [mm] \alpha=\beta=0 [/mm] auch die Nullfolge kriegen.
d.h. deine Fallunterscheidungen mit den 0 braucht man nicht.
aber jetzt hab ich leider doch deine Aufgaben für dich gemacht.
Eigentlich dachte ich, dass du das nach einigen Beispielen sehen würdest.
bei der folge mot dem ˜pi un e, hättest du die ausdrück stehen lassen sollen und nicht in ungenaue Dezimalzahlen umwandeln, dann sieht man ja nicht mehr, wie es funktioniert!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Hallo
> warum kannst du nicht nach einigen rumprobieren einfach
> x1,x1+r,..
> x2,x2+s,...
> linear kombinieren zu
> x3,x3+t,...
Das wäre mein nächster Schritt gewesen,deswegen hatte ich mir auch zuerst eine andere konkrete Basis für das Beispiel überlegt,damit ich auch sehe,dass man das wirklich so allgemein sagen kann.
> daraus kommt
> I [mm]\alpha*x1+\beta*x_2=x3[/mm]
> II [mm]\alpha*r+\beta*s=t[/mm]
> alle weiteren wie
> [mm]\alpha*(x1+n*r)+\beta*(x2+n*s)=x3+n*t[/mm]
> sind dann, wenn du n*II abziehst wieder I
> also musst du nur die 2 Gleichungen lösen
> natürlich kann man mit [mm]\alpha=\beta=0[/mm] auch die Nullfolge
> kriegen.
> d.h. deine Fallunterscheidungen mit den 0 braucht man
> nicht.
> aber jetzt hab ich leider doch deine Aufgaben für dich
> gemacht.
Tut mir leid,wenn du die Aufgabe für mich gemacht hast.Ich gebe ja mein Bestes und versuche es auch zu verstehen.
Ich will die Aufgaben auch selbst machen und nicht,dass jemand die für mich macht,aber manchmal fällts mir halt schwer.
Aber vielen,vielen Dank für deine Hilfe.
Jedenfalls hab ich jetzt eine Basis B=((x1,x1+r,x1+2r,...),(x2,x2+s,x2+2s,...) der arithemtischen Folgen, wobei man noch sagen muss,dass x1 [mm] \not=x2 [/mm] und r [mm] \not=s, [/mm] sehe ich das richtig?
Denn sonst hätte ich ja nur eine Folge,die kann ja nicht die Basis sein.
So,und die Basis ist 2-dimensional,das sieht man jetzt leicht.
Ich verstehe die Aufgabe aber so,dass die da eine ganz bestimmt Basis wollen und nicht so allgemein,also würde ich z.B. B=((1,2,3,...),(0,1,2,...) als Basis von V nehmen.
Hab ich das jetzt richtig verstanden?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Sa 04.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, du sollst 2 Konkrete Folgen als Basis nennen, eine davon hast du, nun noch eine zweite, die nicht vielfaches der ersten ist.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> ja, du sollst 2 Konkrete Folgen als Basis nennen, eine
> davon hast du, nun noch eine zweite, die nicht vielfaches
> der ersten ist.
Da denkt man,man hats verstanden und dann sowas :(
Also das versteh ich nicht,ich hab doch jetzt zwei Folgen genannt,einmal (0,1,2,...) und (1,2,3...) und diese beiden Folgen bilden eine Basis und das will man doch haben oder nicht?
Meinst du etwa ich soll noch eine Basis nennen?
Da würde ich z.B. (0, 0.8, 1.6, 2.4,...),(1, 1.2, 1.4, 1.6,...) nehmen,denn die ist keine Vielfache der ersten.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Sa 04.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, deine zweite folge hatte ich schlicht übersehen. es war oder ist ok
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | c) Für jedes j [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] f_{j}:V-->K, (x_{n})_{n \in \IN} \mapsto x_{j}.Man [/mm] zeige,dass [mm] f_{j} [/mm] K-linear ist. |
Hallo,
ich hab mal die c) gemacht,aber die war so einfach,dass ich es wiederum zu einfach fand und deswegen bezweifle ich,dass das so richtig ist.
Also für die K-Linearität muss gelten:
[mm] 1.f_{j}(x_{n}+y_{n})=f_{j}(x_{n})+f_{j}(y_{n})
[/mm]
Es ist [mm] f_{j}(x_{n})=x_{j} [/mm] und [mm] f_{j}(y_{n})=y_{j}, [/mm] also [mm] f_{j}(x_{n})+f_{j}(y_{n})=x_{j}+y_{j}
[/mm]
Und [mm] f_{j}(x_{n}+y_{n})=x_{j}+y_{j}.
[/mm]
Ist es damit schon bewiesen?
Und es muss noch gelten:
[mm] \lambda*f_{j}(x_{n})=f_{j}(\lambda*x_{n})
[/mm]
Es ist [mm] \lambda*f_{j}(x_{n})=\lambda*x_{j} [/mm] und
[mm] f_{j}(\lambda*x_{n})=\lambda*x_{j}.
[/mm]
War das etwa schon alles und is es damit bewiesen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> c) Für jedes j [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f_{j}:V-->K, (x_{n})_{n \in \IN} \mapsto x_{j}.Man[/mm]
> zeige,dass [mm]f_{j}[/mm] K-linear ist.
> Hallo,
>
> ich hab mal die c) gemacht,aber die war so einfach,dass ich
> es wiederum zu einfach fand und deswegen bezweifle ich,dass
> das so richtig ist.
>
> Also für die K-Linearität muss gelten:
> [mm]1.f_{j}(x_{n}+y_{n})=f_{j}(x_{n})+f_{j}(y_{n})[/mm]
>
> Es ist [mm]f_{j}(x_{n})=x_{j}[/mm] und [mm]f_{j}(y_{n})=y_{j},[/mm] also
> [mm]f_{j}(x_{n})+f_{j}(y_{n})=x_{j}+y_{j}[/mm]
>
> Und [mm]f_{j}(x_{n}+y_{n})=x_{j}+y_{j}.[/mm]
>
> Ist es damit schon bewiesen?
>
> Und es muss noch gelten:
> [mm]\lambda*f_{j}(x_{n})=f_{j}(\lambda*x_{n})[/mm]
>
> Es ist [mm]\lambda*f_{j}(x_{n})=\lambda*x_{j}[/mm] und
> [mm]f_{j}(\lambda*x_{n})=\lambda*x_{j}.[/mm]
>
> War das etwa schon alles und is es damit bewiesen?
Ja
FRED
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | d) Man finde für jedes j [mm] \in \IN [/mm] die darstellende Matrix von [mm] f_{j}:V-->K, (x_{n})_{n \in \IN} \mapsto x_{j} [/mm] bezüglich der Basis von V in (b) und der Standardbasis von K. |
Hallo,
jetzt will ich mal die d) versuchen.
Also ich weiß wie man eine darstellende Matrix berechnet.
Ich verstehe aber die Aufgabe nicht. Wie soll ich denn für JEDES j [mm] \in \IN [/mm] die darstellende Matrix finden,j kann ja jede natürlich Zahl sein,also unendlich viele?Kann mir das jemand erklären?
Über K weiß ich,dass K alle [mm] x_{j} [/mm] enthält und diese [mm] x_{j} [/mm] sind Skalare,da K ein Körper ist.Das heißt die Standardbasis von K ist einfach {1} oder?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 04.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für jedes j heisst hier für ein festes beliebiges j.. du darfst dich nur nicht auf j=1 festlegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 05.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> Für jedes j heisst hier für ein festes beliebiges j.. du
> darfst dich nur nicht auf j=1 festlegen.
Ok.Ich hab also folgende Abbildung [mm] f_{j}:V-->K, (x_{n})_{n \in \IN} \mapsto x_{j}.
[/mm]
Um jetzt die darstellende Matrix von [mm] f_{j} [/mm] bezüglich der Basis [mm] B=\{(1,2,3,...),(0,1,2,...)\} [/mm] und der Standardbasis von K,nämlich [mm] S=\{1\} [/mm] zu finden,muss ich zuerst die Bilder der Elemente von B berechnen,also die Bilder von (1,2,3,...) und (0,1,2,...).
Da hab ich aber schon ein Problem,ich weiß nicht genau wie ich das machen soll.In der Def. der Abbildung steht nur dass [mm] (x_{n})_{n \in \IN} \mapsto x_{j}.
[/mm]
Für die erste Folge (1,2,3,..) wäre doch das n=1, richtig?
So und das Bild ist jetzt einfach [mm] x_{j} [/mm] oder wie? Denn das j soll ja so bleiben.Dann wäre das Bild der Folge (0,1,2,...) für n=0 ebenfalls [mm] x_{j}.
[/mm]
Irgendwie versteh ich das nicht genau.
Das j soll so bleiben sagst du,dann kann ich ja [mm] x_{j} [/mm] durch die Standardbasis [mm] S=\{1\} [/mm] nur so darstellen,dass ich [mm] x_{j}*1=x_{j} [/mm] rechne.
Also ist [mm] x_{j} [/mm] die darstellende Matrix oder was?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 05.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Funktion [mm] f_j [/mm] bildet eine Folge [mm] {x_n} [/mm] auf die reelle Zahl [mm] x_j
[/mm]
[mm] f_7 [/mm] bildet also dein b1=(0,1,2...6,7..
auf die zahl 6 ab, b2 auf 7.
[mm] (x_1,x_1+r....) [/mm] auf x1+6r
Ist es damit klarer?
Gruss leduart
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