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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Jack |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten der Funktionen
[mm] f1(x)=(x^3-3x)/(x^2-4) [/mm] und [mm] f2(x)=(-x^3-x^2+8x)/(x+1). [/mm] |
Hi Leute!
Ich kriege nur bei der Funktion f1 das exakte Ergebins raus. Dabei ist die Asymptote l(x)=x.
Ich habe einfach erst mal die Ausgangsfunktion geteilt und habe eine Ersatzfunktion rausbekommen, die lautet: [mm] f1(x)=x+((x)/(x^2-4))
[/mm]
Dann habe ich die allgemeine Formel angewendet mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x)-l(x)=0
[/mm]
So komme ich auch auf 0. Also habe ich bewiesen, dass l(x)=x die Asymptote ist.
Das Problem leigt jetzt bei der Funktion f2!
Da habe ich als Ersatzfunktion [mm] f1(x)=-x^2+((8x)/(x+1)). [/mm] Das müsste auch richtig sein. Nur das Problem ist jetzt die Asymptote herauszubekommen nach dem Schema wie bei f1.
Könnst ihr mir bitte helfen? Habt ihr vielleicht auch anderes Lösungsansätze, um allgemein Asymptoten zu bestimmen?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
Gruß Jack
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Hi, Jack,
> Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten der Funktionen
> [mm]f1(x)=(x^3-3x)/(x^2-4)[/mm] und [mm]f2(x)=(-x^3-x^2+8x)/(x+1).[/mm]
> Ich kriege nur bei der Funktion f1 das exakte Ergebins
> raus. Dabei ist die Asymptote l(x)=x.
> Ich habe einfach erst mal die Ausgangsfunktion geteilt und
> habe eine Ersatzfunktion rausbekommen, die lautet:
> [mm]f1(x)=x+((x)/(x^2-4))[/mm]
> Dann habe ich die allgemeine Formel angewendet mit:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x)-l(x)=0[/mm]
> So komme ich auch auf 0. Also habe ich bewiesen, dass
> l(x)=x die Asymptote ist.
Stimmt!
> Das Problem liegt jetzt bei der Funktion f2!
> Da habe ich als Ersatzfunktion [mm]f1(x)=-x^2+((8x)/(x+1)).[/mm]
Da hast Du zu früh aufgehört bei der Polynomdivision!
Richtig wäre: [mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] -x^{2}+8-\bruch{8}{x+1} [/mm] !
> Das müsste auch richtig sein. Nur das Problem ist jetzt die
> Asymptote herauszubekommen nach dem Schema wie bei f1.
"Asymptote" im Sinne einer Geraden, der sich der Funktionsgraph von f2 für [mm] x\to \infty [/mm] nähert, gibt es nicht, da der Zählergrad um 2 größer ist als der Nennergrad.
Die Frage aus der Aufgabe aber ist ja auch gar nicht "Bestimme die Asymptoten..." sondern:
"Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten..."
Und ein solches Verhalten gibt's nun sehr wohl, da sich der Funktionsgraph von f2 der Parabel p(x) = [mm] -x^{2} [/mm] +8 nähert!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Jack |
Hi!
Danke für deine Hilfe!
Aber ich komme trotzdem bei der Polynomdivision auf [mm] f(x)=-x^2+8x/(x+1).
[/mm]
Wenn man beide Graphen zeichnet (von f2 und f2 die Ersatzfunktion), dann sind sie identisch, was ja auch sein muss. Nur bei deinem Vorschlag der Ersatzfunktion ist das nicht der Fall. Vielleicht entdecke ich auch einfach meinen Fehler nicht.
Aber l(x) (die Asymptotenfunktion) ist richtig, wenn man es am Graphen abliest bzw. durch Rechnung beweist.
Jetzt frage ich mich, wo der Fehler ist!
Wie bist du genau auf die Asymptotenfunktion gekommen?
Gruß Jack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 So 26.02.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Jack,
> Danke für deine Hilfe!
> Aber ich komme trotzdem bei der Polynomdivision auf
> [mm]f(x)=-x^2+8x/(x+1).[/mm]
> Wenn man beide Graphen zeichnet (von f2 und f2 die
> Ersatzfunktion), dann sind sie identisch, was ja auch sein
> muss.
Natürlich stimmen beide Darstellungen überein! Aber Deine Polynomdivision ist unvollständig, weil 8x/(x+1) NICHT DER RESTTERM ist!
Im Restterm MUSS (!!) der Zählergrad KLEINER als der Nennergrad sein!
> Nur bei deinem Vorschlag der Ersatzfunktion ist das
> nicht der Fall.
Was meinst Du damit? Selbstverständlich ist
f2(x) = [mm] \bruch{-x^{3}-x^{2}+8x}{x+1} [/mm] = [mm] -x^{2} [/mm] + 8 - [mm] \bruch{8}{x+1}!!
[/mm]
(Wollen wir wetten?!)
> Vielleicht entdecke ich auch einfach meinen
> Fehler nicht.
> Aber l(x) (die Asymptotenfunktion) ist richtig, wenn man
> es am Graphen abliest bzw. durch Rechnung beweist.
> Jetzt frage ich mich, wo der Fehler ist!
> Wie bist du genau auf die Asymptotenfunktion gekommen?
Alles oben erläutert! Polynomdivision!!!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Jack |
Hi Zwerglein!
Du hast mit allem vollkommen recht, was du behauptet hast!
Ich habe meinen Fehler in der Polynomdividion entdeckt!
Außerdem sind die beiden Darstellungen für f2 übereinstimmend, ich hatte einfach ein Schreibfehler begangen beim Eintippen.
Vielen Dank für alles!
Gruß Jack
PS: Kennst du vielleicht eine andere Methode, um asymptotisches Verhalten einfacher zu bestimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
>
> PS: Kennst du vielleicht eine andere Methode, um
> asymptotisches Verhalten einfacher zu bestimmen?
Es gibt nur die Polynomdivision um bei gebrochenrationalen Fkt. das asymptotische Verhalten zu bestimmen.
Es gibt lediglich einen Sondertrick, den man sich bedienen kann, lautet die Funktion (Fkt.)
f(x) = [mm] \bruch{ax^n}{bx^m}
[/mm]
Wenn n=m, dann ist die Asymptote y= [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
a und b sind lediglich Faktoren (2x...oder 4x...)
Bsp.: f(x) = [mm] \bruch{2x^2}{4x^2+x} [/mm]
Dann wäre die Asymptote y= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{ax^n}{bx^m}
[/mm]
Wenn n<m
Dann ist die X-Achse waagerechte Asymptote
z.B. bei f(x) = [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
d. h. y=0
Aber das lässt sich aus der Polynomdivision herleiten.
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 28.02.2006 | | Autor: | Jack |
Danke für die Information!
Ich habe aber auch nochmal eine letzte frage bzw. eine rictigstellung, und zwar:
echt gebrochenrationale Funktion= der polynom im nenner ist größer als im zähler
unechte gebrochenrationale Funktion= der polynom im nenner ist kleiner als im zähler
stimmt das?
Wenn ja, dann ist es ja auch das Ziel bei der Polynomdivision be gebrichenrationalen Funktionen eine unechte gebrochenrationale funktion herauszubekommen, oder? Dann kann man ja auch Limes gegen unendlich streben lassen.
Wäre super, wenn jemand nochmals anworten könnte!
Vielen Dank!!!
Gruß Jack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Di 28.02.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Jack,
> Danke für die Information!
> Ich habe aber auch nochmal eine letzte frage bzw. eine
> rictigstellung, und zwar:
> echt gebrochenrationale Funktion= das polynom im nenner
> ist größer als im zähler
Natürlich nur, was den GRAD betrifft! Dann aber stimmt's!
> unechte gebrochenrationale Funktion= das polynom im nenner
> ist kleiner als im zähler
> stimmt das?
Da hast Du aber den Fall vergessen, dass Zähler- und Nennergrad GLEICH GROSS sind, z.B.:
f(x) = [mm] \bruch{2x+1}{x+2}
[/mm]
Auch in diesem Fall nennt man den Funktionsterm "unecht" gebrochen.
> Wenn ja, dann ist es ja auch das Ziel bei der
> Polynomdivision bei gebrochenrationalen Funktionen eine
> unechte gebrochenrationale funktion herauszubekommen, oder?
Genau umgekehrt!
Eine UNECHT-gebrochen-rationale Funktion wird durch PD in die Summe aus einer ganzrationalen (da gehören Konstante auch dazu!) und einer ECHT-gebrochen-rationalen Funktion verwandelt!
> Dann kann man ja auch Limes gegen unendlich streben
> lassen.
Damit findet man leider nur WAAGRECHTE Asymptoten raus, aber keine schiefen! (Und sonstiges "asymptotisches Verhalten" erst Recht nicht!)
mfG!
Zwerglein
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