www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - asymptotische Entwicklung
asymptotische Entwicklung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

asymptotische Entwicklung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:38 So 03.07.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Man bestimme die asymptotische Entwicklung einer Lösung der Differentialgleichung [mm] \epsilon [/mm] x'(t)+x(t)=sin(t), ohne die explizite Lösung zu verwenden. Was kann man bezüglich der Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung x(0)=1 tun?

Hallo,

Ich schreibe x(t) als [mm] x_{\epsilon}(t)=x_0(t)+\epsilon x_1(t)+ \epsilon^2 x_2(t)+O(\epsilon^3) [/mm]

Ich setze die formale Reihe in mein geestörtes Problem ein:
[mm] \epsilon x_0'(t)+ \epsilon^2 x_1'(0) [/mm] + [mm] x_0(t) [/mm] + [mm] \epsilon x_1(t) [/mm] + [mm] \epsilon^2 x_2(t) [/mm] + [mm] O(\epsilon^3) [/mm] = sin(t)
Koeffizientenvergleich:
[mm] \epsilon^0: x_0(t)=sin(t) [/mm]
[mm] \epsilon^1: x_0'(t)+x_1(t)=0 \Rightarrow x_1(t)=-cos(t) [/mm]
[mm] \epsilon^2: x_1'(t)+x_2(t)=0 \Rightarrow -sin(t)=x_2(t) [/mm]

[mm] \Rightarrow x_{\epsilon} [/mm] (t)= sin(t) - [mm] \epsilon [/mm] cos(t) - sin(t) [mm] \epsilon^2 [/mm] + [mm] O(\epsilon^3) [/mm]

Nun ist mein Problem die Anfangsbedingung: x(0)=1
[mm] x_0(0)+\epsilon x_1(0)+\epsilon^2 x_2(0)+O(\epsilon^3)=1 [/mm]
[mm] \Rightarow x_0(0)=1, x_1(0)=0, x_2(0)=0 [/mm]
was nicht mit den obigen Ergebnissen zusammenpasst.

Das Problem ist ja dass das Epsilon neben den höchsten Term steht.
Habt ihr einen Tipp?
LG,
Sissi

        
Bezug
asymptotische Entwicklung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:53 Mo 04.07.2016
Autor: sissile

Hallo,
Meine Idee:

Variablentransformation: [mm] \psi= \frac{t}{\epsilon^{\alpha}}, \alpha>0 [/mm] einsetzen:
[mm] \epsilon^{1-\alpha} \chi'(\psi) [/mm] + [mm] \chi(\psi)= sin(\psi \epsilon^{\alpha}) [/mm]
[mm] \chi(0)=1 [/mm]

Ansatz: [mm] \chi(\psi)=\chi_0(\psi)+\chi_1(\psi)* \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] einsetzen:
[mm] \epsilon^{1- \alpha}( \chi_0'(\psi) [/mm] + [mm] \chi_1'(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2)) [/mm] + [mm] \chi_0 (\psi) [/mm] + [mm] \chi_1(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] = [mm] sin(\psi \epsilon^{\alpha}) [/mm]
[mm] \chi_0(0)+\epsilon*\chi_1(0)+ O(\epsilon^2)=1 [/mm]

Ich setzte [mm] \alpha=1 [/mm] und erhalte:
[mm] \chi_0'(\psi) [/mm] + [mm] \chi_1'(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] \chi_0 (\psi) [/mm] + [mm] \chi_1(\psi) \epsilon [/mm] + [mm] O(\epsilon^2) [/mm] = [mm] sin(\psi \epsilon) [/mm]
Nun ist [mm] sin(\psi \epsilon)=O(\epsilon) [/mm] also Koeffizientenvergleich:

[mm] \epsilon^0: \chi_0' (\psi)+ \chi_0 (\psi)=0, \chi_0(0)=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \chi_0 (\psi)= e^{-\psi} [/mm]

[mm] \epsilon^1: \chi_1'(\psi)+\chi_1(\psi)= [/mm] ??, [mm] \chi_1(0)=0 [/mm]
Was soll ich hier aber für die rechte Seite einsetzten, ich dachte an [mm] sin(\psi \epsilon) \approx \psi \epsilon [/mm] und daher  [mm] \chi_1'(\psi)+\chi_1(\psi)= \psi. [/mm]
Was zu [mm] \chi_1(\psi)=\psi+ e^{-\psi} [/mm] -1 führt.

Ist das korrekt? Wie mache ich weiter?

LG,
Sissi


Bezug
                
Bezug
asymptotische Entwicklung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Mi 06.07.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]