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Forum "mathematische Statistik" - asymptotische Verteilung
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asymptotische Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Mo 26.04.2010
Autor: takeiteasy

Aufgabe
Seien [mm] X_1 ,...,X_n iid.\sim N(\mu,\sigma^2). [/mm]
Zeige, dass für das Stichprobenmoment [mm] a_4=1/n\summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] ^4 gilt
[mm] \wurzel{n}(a_4-E[a_4])\to N(0,\lambda^2) [/mm]

Ich soll nun hierauf die Delta-Methode anwenden.
Die wäre
[mm] \wurzel{n}(X_n -\mu)\sim N(0,\sigma^2) [/mm]
Wenn [mm] g'(\mu)\not=0, [/mm]
[mm] \wurzel{n}(g(X_n)-g(\mu))\sim N(0,g'(\mu)^2\sigma^2) [/mm]

Aber ich weiß nicht, wie ich diese Methode auf meine Aufgabe anwenden soll.
Kann mir da jemand einen Ansatz geben?

Vielen Dank

        
Bezug
asymptotische Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Mi 28.04.2010
Autor: luis52

Moin

> Seien [mm]X_1 ,...,X_n iid.\sim N(\mu,\sigma^2).[/mm]
>  Zeige, dass
> für das Stichprobenmoment [mm]a_4=1/n\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] ^4
> gilt
>  [mm]\wurzel{n}(a_4-E[a_4])\to N(0,\lambda^2)[/mm]

Was ist [mm] $\lambda^2$? [/mm]

>  Ich soll nun
> hierauf die Delta-Methode anwenden.

Wer sagt das?

>  Die wäre
>  [mm]\wurzel{n}(X_n -\mu)\sim N(0,\sigma^2)[/mm]

[verwirrt] [mm] $X_n$ [/mm] ist der letzte Stichprobenwert...

>  Wenn
> [mm]g'(\mu)\not=0,[/mm]
>  [mm]\wurzel{n}(g(X_n)-g(\mu))\sim N(0,g'(\mu)^2\sigma^2)[/mm]
>  
> Aber ich weiß nicht, wie ich diese Methode auf meine
> Aufgabe anwenden soll.
>  Kann mir da jemand einen Ansatz geben?

[mm] $X_1^4,\dots,X_n^4$ [/mm] ist eine Stichprobe. Wende hierauf den ZGS an.

vg Luis



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