auf Differenzierbarkeit prüfen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die Funktion
[mm]f(x) = e^{-\bruch{1}{x}}[/mm] für x>0
0 sonst
differenzierbar im Nullpunkt? |
Hallo!
Um zu zeigen, dass die Funktion in x=0 differenzierbar ist, bestimmt man ja den Grenzwert gegen [mm]0^{-}[/mm] und [mm]0^{+}[/mm] von [mm]\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/mm] ....
Gegen [mm]0^{+}[/mm] hab ich das auch hinbekommen...
[mm]\limes_{x\rightarrow0^{+}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}-0}{x-x0}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow0^{+}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}}}{\bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{e^{n}}[/mm] = 0
Aber kommt bei dem Folgenden denn auch 0 raus? Und wenn ja, wieso?
[mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}-0}{x-x0}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{-\bruch{1}{-\bruch{1}{n}}}}{-\bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}e^{n}*(-n)[/mm] = ???
Um die Differenzierbarkeit zu zeigen muss dann nur noch f(0) auch 0 ergeben, oder?
Danke schonmal!
Gruß, Raingirl87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mi 07.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für [mm] x\to0^{-} [/mm] gilt doch:
[mm] \limes_{h\to0}\frac{f(0-h)-f(0)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\frac{0-0}{h}
[/mm]
Jetzt häst du aber den Fall [mm] \frac{0}{0}
[/mm]
Also bietet sich l'Hosptial an.
Hier dann:
[mm] =\limes_{h\to0}\frac{0}{h}=\limes_{h\to0}\frac{0}{1}=0
[/mm]
Marius
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So ganz versteh ich das mit dem h nicht...
Es gilt also [mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0} = \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x0-h)-f(x0)}{h}[/mm] ?
Gilt die Formel immer?
--> [mm] \limes_{h\rightarrow0}=\bruch{e^{-\bruch{1}{-h}}}{e^{-\bruch{1}{h}}}
[/mm]
Und hier ersetze ich jetzt h durch [mm] \bruch{1}{n}?
[/mm]
--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{n}}{e^{-n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}e^{n}*e^{n} [/mm] = 0*0 = 0
Stimmt das jetzt so? Kann ich h eigentlich auch x nennen? Muss man überhaupt links- und rechtsseitigen GW betrachten oder reicht es wenn man nur den Grenzwert gegen xo betrachtet?
Raingirl87
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Hallo Raingirl,
die Funktionsvorschrift lautet doch für [mm] x\le{0} [/mm] : f(x)=0. Die Grenzwertbildung gegen [mm] 0^{-} [/mm] ist von daher nicht aufwändig, und l'Hospital brauchst Du in der Tat eigentlich gar nicht.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
inzwischen hast Du Deine Frage mehrfach editiert. Ich gehe mal auf die vorliegende (5.) Fassung ein:
> So ganz versteh ich das mit dem h nicht...
> Es gilt also [mm]\limes_{x\rightarrow0^{-}} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0} = \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x0-h)-f(x0)}{h}[/mm]
> ?
Nein. Wenn Du [mm] x=x_0-h [/mm] setzt, dann setzt Du hier also [mm] h\to 0^{+} [/mm] voraus und solltest es auch so unter den rechten Grenzwert schreiben. Vor allem aber ergibt [mm] x-x_0=x_0-h-x_0 [/mm] nicht h, sondern -h.
> Gilt die Formel immer?
Was heißt immer? Wenn sie erstmal korrigiert ist, ist sie in der Tat noch so allgemein, dass man sie auf alles mögliche anwenden kann.
> -->
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}=\bruch{e^{-\bruch{1}{-h}}}{e^{-\bruch{1}{h}}}[/mm]
> Und hier ersetze ich jetzt h durch [mm]\bruch{1}{n}?[/mm]
Nein, mal abgesehen davon, dass die Notation mit dem Gleichheitszeichen direkt nach dem Limes nicht möglich ist, setzt Du doch außerdem [mm] x_0=0. [/mm] Und wo kommt die Exponentialfunktion im Nenner her? Da stand doch gar kein f(x), sondern nur -h.
Außerdem wendest Du (siehe meine erste Antwort) die Funktionsvorschrift falsch an! Für alle [mm] x\le0 [/mm] ist f(x)=0.
Zu untersuchen ist hier (linksseitiger Grenzwert) also dies:
[mm] \lim_{h\to 0^+}\bruch{f(0-h)-f(0)}{-h}=\lim_{h\to 0^+}-\bruch{0-0}{h}=0
[/mm]
> --> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{n}}{e^{-n}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}e^{n}*e^{n}[/mm] = 0*0 = 0
Mal abgesehen davon, dass der Rechenschritt davor schon falsch war, ist dies Humbug. Du ersetzt gerade (richtig) [mm] \tfrac{1}{h}=n [/mm] und lässt [mm] n\to\infty [/mm] laufen. Aber da kommt doch nicht Null heraus...
> Stimmt das jetzt so? Kann ich h eigentlich auch x nennen?
Du kannst Deinem h jeden Variablennamen geben, den Du willst, sofern er nicht schon verwendet ist oder sonstwie für Uneindeutigkeit sorgt. x ist hier aber schon vergeben, und e würde ich es auch nicht nennen. Was spricht dagegen, einfach bei h zu bleiben? Sonst nimm halt [mm] \delta [/mm] oder [mm] \epsilon [/mm] oder [mm] \hat{q} [/mm] oder sonstwas.
> Muss man überhaupt links- und rechtsseitigen GW betrachten
> oder reicht es wenn man nur den Grenzwert gegen xo
> betrachtet?
Nein, wegen der geteilten Funktionsvorschrift musst Du den links- und rechtsseitigen Grenzwert untersuchen. Das ist doch gerade der einzige Sinn dieser Aufgabe!
Grüße
reverend
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Danke für die Erklärungen! Ich glaube/hoffe ich habs jetzt:
[mm]\limes_{h\rightarrow0+}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0+}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}}}{\bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{e^{n}} = 0[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow0-}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0-}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm] = 0, da die h´s < 0 sind und die Funktion für <0=0 ist.
[mm][/mm]
Stimmt das jetzt so?
Gruß,
Raingirl87
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 08.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke für die Erklärungen! Ich glaube/hoffe ich habs
> jetzt:
> [mm]\limes_{h\rightarrow0+}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0+}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{-\bruch{1}{\bruch{1}{n}}}}{\bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{e^{n}} = 0[/mm]
Das ist soweit ok.
>
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0-}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \limes_{h\rightarrow0-}\bruch{e^{-\bruch{1}{h}}}{h}[/mm]
> = 0, da die h´s < 0 sind und die Funktion für <0=0 ist.
Das passt so nicht.
Du näherst sich von Links an dier Stelle = an, also aus dem negativen Bereich, und dort ist (LAUT FUNKTIONSVORSCHRIFT) f(x)=0
Also:
[mm]\limes_{h\rightarrow0-}\bruch{\green{f(0}\red{-}\green{h)}-f(0)}{h}=\limes_{h\rightarrow0-}\frac{\green{0}-0}{h}=\ldots[/mm]
>
>
> Stimmt das jetzt so?
> Gruß,
> Raingirl87
Marius
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