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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mo 04.07.2005 | | Autor: | annaL |
ich habe, nachdem ich meine aufgabe soweit wie möglich aufgelöst habe folgendes raus:
[mm] a^{2}b [/mm] + 2 [mm] a^{2} [/mm] + 2ab + 4a + [mm] ab^{2} [/mm] + 2ab + [mm] 2b^{2}+4b [/mm]
Ich soll zeigen dass das [mm] \ge [/mm] 16 ab ist.
Wie gehe ich weiter vor?
Ich hatte schon überlegt alles umzuschreiben, dass ich überall das produkt ab drin habe , aber das geht leider nicht :(
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Hallo Anna,
es wäre schöner gewesen, wenn du uns zunächst die gestellte Aufgabe aufgeschrieben hättest.
Manchmal ist das vollständige Auflösen gar nicht nötig und verstellt den Blick auf die eigentliche Lösung:
Also: wie lautet deine Aufgabe?
> ich habe, nachdem ich meine aufgabe soweit wie möglich
> aufgelöst habe folgendes raus:
>
> [mm]a^{2}b[/mm] + 2 [mm]a^{2}[/mm] + 2ab + 4a + [mm]ab^{2}[/mm] + 2ab + [mm]2b^{2}+4b[/mm]
>
> Ich soll zeigen dass das [mm]\ge[/mm] 16 ab ist.
>
> Wie gehe ich weiter vor?
> Ich hatte schon überlegt alles umzuschreiben, dass ich
> überall das produkt ab drin habe , aber das geht leider
> nicht :(
Zeig uns mal deinen Lösungsweg, dann können wir dir besser helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 04.07.2005 | | Autor: | annaL |
die aufgabe lautet :
beweise folgende ungleichung:
( a+2) (b+2) (a+b) [mm] \ge [/mm] 16 ab
ich habe ja nun alles aufgelöst, wie in dem anderen post schon geschrieben.
aber ich weiß nicht wie ich dann weiter verfahren soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wie sind die genauen Voraussetzungen?
Denn die Ungleichung ist ja zum Beispiel für $a=-1=b$ unwahr.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:52 Mo 04.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Annai
Der Beitrag ist eingach Unsinn! also vergiss ihn! Zwerglein hat recht!!
Die Behauptung ist einfach falsch!Das kannst du direkt schon in der unaufgelösten Gleichung sehen. setzte a=2, b=2 und du siehst, dass es falsch ist.
Ein einziges Gegenbeispiel zeigt, dass eine Behauptung falsch ist, also musst du nichts mehr beweisen.
Oder ist doch noch was über a und b gesagt?
(Es lohnt sich immer in so ne Behauptung mal ein paar einfache Zahlen einzusetzen. Entweder man findet wie hier ein Gegenbeispiel, oder man sieht irgendwie, wie es zu dem > kommt.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, leduart,
wenn ich in (a+2)(b+2)(a+b) für a und b jeweils 2 einsetze, krieg' ich doch:
4*4*4 = 64.
rechte Seite: 16*2*2 = 64.
Da Gleichheit erlaubt ist, ist das KEIN Gegenbeispiel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mo 04.07.2005 | | Autor: | annaL |
über a und b ist nur gesagt dass sie größer als null sind!!!!!
Und nun????????
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Hi, Anna,
habe Deine zusätzliche Bemerkung (a, b > 0) gelesen:
Dies hatt' ich schon vermutet, denn Julii Einwand ist richtig!
Nun hab' ich mal zumindest den Sonderfall a=b>0 bewiesen:
Also: Für a=b gilt:
(a+2)(a+2)(2a) [mm] \ge 16a^{2} [/mm] |:(2a) (mit a > 0 !!!)
<=> [mm] (a+2)^{2} \ge [/mm] 8a
<=> [mm] a^{2} [/mm] + 4a + 4 [mm] \ge [/mm] 8a
<=> [mm] a^{2} [/mm] - 4a + 4 [mm] \ge [/mm] 0
<=> (a - [mm] 2)^{2} \ge [/mm] 0
Da letztere Aussage trivial ist, muss auch die ursprüngliche Aussage richtig gewesen sein! (q.e.d.)
Weiter bin ich zwar noch nicht gekommen, aber für den 2. Teil des Beweises kann man nun oBdA annehmen, dass a > b ist.
Will mal schaun, ob das weiterhilft!
Probier's aber selbst auch mal!
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Hi Anna und Zwerglein,
Zwerglein: Nun hab' ich mal zumindest den Sonderfall a=b>0 bewiesen:
Das gilt nicht nur für diesen Sonderfall, sondern auch für $a [mm] \ge [/mm] b>0$:
Also: Für a [mm] \ge [/mm] b>0 gilt:
$(a+2)(b+2)(a+b) [mm] \ge [/mm] (a+2)(b+2) 2b [mm] \ge 16a^{2} [/mm] $ |:(2b) (mit a [mm] \ge [/mm] b > 0 !!!)
$(a+2)(b+2)(a+b) [mm] \ge [/mm] (b+2)(b+2) 2b [mm] \ge \bruch{16a^{2}}{2b} [/mm] $
$ [mm] \gdw (b+2)^{2} \ge 8\bruch{a^2}{b} \ge [/mm] 8b $ (mit a [mm] \ge [/mm] b > 0 kann man a nach b verkleinern)
$ [mm] \gdw b^{2} [/mm] + 4b + 4 [mm] \ge [/mm] 8b$
$ [mm] \gdw b^{2} [/mm] - 4b + 4 [mm] \ge [/mm] 0$
$ [mm] \gdw [/mm] (b - [mm] 2)^{2} \ge [/mm] 0$
Da letztere Aussage trivial ist, muss auch die ursprüngliche Aussage richtig gewesen sein! (q.e.d.)
Anna, du siehst: das Ausmultiplizieren war in diesem Fall (ausnahmsweise) gar nicht nützlich, sondern hat den Blick auf die Vereinfachungsmöglichkeiten nur verstellt. 
Bitte überprüfen! Bei solchen Abschätzungen macht man gerne einen Denkfehler!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, informix,
so ähnlich war meine Überlegung auch!
Lediglich an einer Stelle blieb ich hängen (siehe unten!)
> Also: Für a [mm]\ge[/mm] b>0 gilt:
>
> [mm](a+2)(b+2)(a+b) \ge (a+2)(b+2) 2b \ge 16a^{2}[/mm] |:(2b) (mit
> a [mm]\ge[/mm] b > 0 !!!)
> [mm](a+2)(b+2)(a+b) \ge (b+2)(b+2) 2b \ge \bruch{16a^{2}}{2b}[/mm]
Hier hast Du Dich vertippt: Rechts bereits durch 2b dividiert, links nicht. Also:
(b+2)(b+2) 2b [mm] \ge \bruch{16a^{2}}
[/mm]
<=> (b+2)(b+2) [mm] \ge \bruch{16a^{2}}{2b}
[/mm]
>
> [mm]\gdw (b+2)^{2} \ge 8\bruch{a^2}{b} \ge 8b[/mm] (mit a [mm]\ge[/mm] b > 0
Genau diesen Schritt hab' ich nicht erkannt!
Scheint aber logisch! Wenn a > b ist auch [mm] a^{2} [/mm] > [mm] b^{2} [/mm]
(natürlich nur, wenn beide positiv sind!)
> [mm]\gdw b^{2} + 4b + 4 \ge 8b[/mm]
> [mm]\gdw b^{2} - 4b + 4 \ge 0[/mm]
>
> [mm]\gdw (b - 2)^{2} \ge 0[/mm]
>
Gratuliere!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 05.07.2005 | | Autor: | scratchy |
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> Also: Für a [mm]\ge[/mm] b>0 gilt:
>
> [mm](a+2)(b+2)(a+b) \ge (a+2)(b+2) 2b \ge 16a^{2}[/mm] |:(2b) (mit
> a [mm]\ge[/mm] b > 0 !!!)
Bin bin hier etwas verwirrt. Wenn a>=b>0 gilt muss das dann nicht so sein?:
[mm](a+2)(b+2)(a+b) \ge (a+2)(b+2) 2 [/mm] [mm] \textbf{a}[/mm] [mm] \ge 16 [/mm] [mm] \textbf{bb}[/mm]
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Hi, scratchy,
ich verstehe Deine Probleme, kann Dir aber vielleicht helfen.
> > Also: Für a [mm]\ge[/mm] b>0 gilt:
> >
> > [mm](a+2)(b+2)(a+b) \ge (a+2)(b+2) 2b \ge 16a^{2}[/mm] |:(2b) (mit
> > a [mm]\ge[/mm] b > 0 !!!)
>
> Bin bin hier etwas verwirrt. Wenn a>=b>0 gilt muss das dann
> nicht so sein?:
> [mm](a+2)(b+2)(a+b) \ge (a+2)(b+2) 2[/mm] [mm]\textbf{a}[/mm] [mm]\ge 16[/mm] [mm]\textbf{bb}[/mm]
Zunächst wird die linke Seite der Ungleichung betrachtet (vergiss' das 16ab zunächst!)
Wenn a > b ist, kann (a+b) nicht größer als 2a sein, kann nur durch 2b abgeschätzt werden. Auch die weitere Abschätzung der linken Seite erfolgt nach dem Muster: Größeres durch Kleineres ersetzen.
Nachdem dann die linke Seite nur noch von b abhängt, also:
[mm] (b+2)^{2}*2b [/mm] , wird von diesem Term, der zweifellos kleiner oder höchstens gleich dem ursprünglichen Term ist, bewiesen, dass er [mm] \ge [/mm] 16ab ist.
Die Ungleichung
[mm] (b+2)^{2}*2b \ge [/mm] 16ab wird durch 2b dividiert
[mm] (b+2)^{2} \ge [/mm] 8a,
tja - und nun (während ich's schreibe) scheint's mir tatsächlich falsch zu sein, denn: die rechte Seite mit [mm] \ge [/mm] 8b abzuschätzen, führt ja zu einer Aussage, die nichts darüber ausssagt, ob die ursprüngliche Aussage stimmt!
Tut mir Leid!
Ich glaube, Du hast Recht und informix' Beweis ist tatsächlich nicht brauchbar!
Schade!
Nun ja: Wenigstens hat Paulus die Ehre des Matheraums gerettet!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Di 05.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
ich will mal zeigen, wie das ohne Abschätzungen geht:
Die Aufgabe war:
$(a+2)(b+2)(a+b) [mm] \ge [/mm] 16ab$
Das kann auch so geschrieben werden:
$(a+2)(b+2)(a+b)-16ab [mm] \ge [/mm] 0$
Wenn zu zeigen ist, dass etwas grösser oder gleich Null sein soll, hat man oft Erfolg, wenn man zeigen kann, dass dieses "etwas" eine Summe von Quadratzahlen ist, weil ja jede einzelne Quadratzahl grösser oder gleich Null ist. (Mindestens im Reellen, aber das sind wir hier ja!)
Ausmultiplizieren liefert:
[mm] $a^2b+2a^2-12ab+4a+ab^2+2b^2+4b \ge [/mm] 0$
Hier stört eigentlich nur das $-12ab_$.
Das verteilen wir einfach in $-4ab-4ab-4ab_$:
[mm] $a^2b+2a^2-4ab-4ab-4ab+4a+ab^2+2b^2+4b \ge [/mm] 0$
Etwas umordnen:
[mm] $2a^2-4ab+2b^2+a^2b-4ab+4b+ab^2-4ab+4a \ge [/mm] 0$
Ein Bisserl ausklammern:
[mm] $2(a^2-2ab+b^2)+b(a^2-4a+4)+a(b^2-4b+4) \ge [/mm] 0$
... und die Binomischen Formeln anwenden:
[mm] $2(a-b)^2+b(a-2)^2+a(b-2)^2 \ge [/mm] 0$
So, jetzt sind alle drei Summanden grösser oder gleich null. 
Alles klar?
Mit vielen Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mi 06.07.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Paul,
danke - du hast die Ehre des MR gerettet!!
Es ist doch gut zu wissen, dass immer noch mal einer drüber liest, was ein anderer so geschrieben hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Do 07.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo informix und Zwerglein
>
> danke - du hast die Ehre des MR gerettet!!
>
Kann man die denn noch retten?
Mit lieben Grüssen
Paul
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