aufspannen + lin.unabh. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 So 31.05.2009 | | Autor: | soenne11 |
| Aufgabe | a1 = (1,-1,2) , a2 = (-1,0,3) , a3 = (0,-1,5) , a4 = (3,-2,2)
a) Spannen Sie vier Vektroen den [mm] \IR³ [/mm] auf?
b) Zeigen Sie : { a1,a2,a3,a4} ist linear unabhängig.
c) Bestimmen Sie alle Teilmengen von {a1,a2,a3,a4}, die Basen des von a1,a2,a3,a4 aufgespannten Raums sind. |
zu a) ...... keine Ahnung
zu b) wenn ich die Vektoren mit der Nullmatrix gleichsetze, bekomme ich folgende Lösung heraus.
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 & 0\\ 0 & -1 & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 2 & 0 }
[/mm]
mit Gaußverfahren = [mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
folglich ist alles 0. => linear unabhängig !!
zu c) .... keine Ahnung
Kann mir Jemand einen Tipp geben wie ich Teil a und c mache? Und habe ich Teil b richtig gerechnet?
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> a1 = (1,-1,2) , a2 = (-1,0,3) , a3 = (0,-1,5) , a4 =
> (3,-2,2)
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> a) Spannen Sie vier Vektroen den [mm]\IR³[/mm] auf?
> b) Zeigen Sie : { a1,a2,a3,a4} ist linear unabhängig.
> c) Bestimmen Sie alle Teilmengen von {a1,a2,a3,a4}, die
> Basen des von a1,a2,a3,a4 aufgespannten Raums sind.
> zu a) ...... keine Ahnung
Hallo,
Du mußt Dich unbedingt über die Begriffe Erzeugendensystem, aufgespannter Raum, linear unabhängig, Basis, Dimension schlau machen, sonst wirst Du der Vorlesung bald nicht mehr folgen können.
zu a) Hier geht es darum, ob die [mm] a_i [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] sind. Was ist denn ein Erzeugendensystem? Woran kannst Du merken, ob die vier Vektoren ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] sind? (Es geht mit zunächst ums Prinzip, nicht um die technische Umsetzung.)
>
> zu b)
Du wirst nicht zeigen können, daß die vier Vektoren linear unabhängig sind, denn es sind Vektoren des [mm] \IR^3, [/mm] der [mm] \IR^3 [/mm] hat die Dimension 3.
Warum weiß man ohne zu rechnen, daß die vier Vektoren nicht linear unabhängig sind?
Ausrechnen kann man es allerdings auch:
stell dafür die vier Vektoren als Spalten in eine Matrix und bring diese auf ZSF. (Rrechts kannst Du Dir den Nullvektor drandenken, den muß man nicht mitschleppen.)
> zu c) .... keine Ahnung
Dazu brauchst Du je auch zuerst die Dimension des von den vier Vektoren aufgespannten Raumes. In a) stellt man fest, daß die vier Vektoren den [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen.
Du mußt aus den vier Vektoren also sämtliche Basen des [mm] \IR^3 [/mm] herausfischen.
Wieviele Elemente enthalten diese Basen? Welche Eigenschaft haben die Basisvektoren?
Was mußt Du also tun?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 31.05.2009 | | Autor: | soenne11 |
zu b)
linear unabhängig kann es nicht sein, da die dim = 3 herauskommt, wenn ich
K1 [mm] \vektor{1 \\ -1\\ 2} [/mm] + K2 [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3} [/mm] +K3 [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 5} [/mm] +K4 [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] mit dem Gaußverfahren berechne.
Daraus folgt, das eine lineare Abhängigkeit besteht.
1 0 1 0 | 0
0 1 1 0 | 0
0 0 0 1 | 0 das kommt bei der Gauß elimination heraus.
Wie kann ich das Erzeugendensytem bestimmen? Tu mich damit total schwer.
Indem ich nachgewiesen habe, das die Vektoren linear Abhängig sind, hab ich dann nicht auch gleichzeitig mein Erzeugendensystem bestimmt?
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
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> zu b)
Hallo,
> linear unabhängig kann es nicht sein, da die dim = 3
> herauskommt,
wovon?
> wenn ich
>
> K1 [mm]\vektor{1 \\ -1\\ 2}[/mm] + K2 [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}[/mm] +K3
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 5}[/mm] +K4 [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> mit dem Gaußverfahren berechne.
Mit dem Gaußverfahren erhältst Du, daß die Matrix, die die besagten Vektoren in den Spalten hat, den Rang 3 hat.
Dein GS hat somit eine von [mm] K_i=0 [/mm] (i=1,2,3,4) verschiedene Lösung.
> Daraus folgt, das eine lineare Abhängigkeit besteht.
Genau.
Du hättest nicht rechnen brauchen: 4 Vektoren, die einem dreidimensionalen Raum entstammen, müssen linear abhängig sein, denn die basis des Raumes enthält drei Elemente und basen sind maximale linear unabhängige Erzeugendensysteme.
Du siehst noch mehr: der Rang der Matrix ist=3, also ist 3 die Dimension des von den 4 Vektoren aufgespannten (erzeugten) Vektorraumes.
Jetzt überleg mal: Du hast 4 Vektoren, die aus dem [mm] \IR^3 [/mm] sind. Also spannen sie einen Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] auf, und eben hast Du ausgerechnet, daß der von ihnen aufgespannte Raum die Dimension 3 hat. Welchen Raum spannen sie also auf?
>
> 1 0 1 0 | 0
> 0 1 1 0 | 0
> 0 0 0 1 | 0 das kommt bei der Gauß elimination
> heraus.
>
> Wie kann ich das Erzeugendensytem bestimmen?
Wovon jetzt?
Du hast die vier Vektoren [mm] a_1,..., a_4, [/mm] und diese spannen einen Raum auf. Natürlich sind sie ein Erzeugendensystem des aufgespannten Raumes, und den Raum kennst Du inzwischen ja wahrscheinlich.
Sie sind ein Erzeugendensystem dieses dreidimensionalen Raumes, aber keine Basis, denn sie sind ja linear unabhängig.
> Indem ich nachgewiesen habe, das die Vektoren linear
> Abhängig sind, hab ich dann nicht auch gleichzeitig mein M
> Erzeugendensystem bestimmt?
Zu Erzeugendensystem gehört immer: wovon?
Wie gesagt, vom aufgespannten Raum sind Deine [mm] a_1,...,a_4 [/mm] ein Erzeugendensystem.
Interessant ist nun noch die Frage c): da sollst Du sagen, welche Vektoren eine Basis des aufgespannten Raumes bilden.
Da jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält, weiß Du, daß Du fündig wirst. Weil die Dimension des aufgespannten Raumes =3 isst, weißt Du, daß Du nach drei linear unabhängigen vektoren aus [mm] \{a_1,...,a_4\} [/mm] suchen mußt.
Du sollst ja alle Basen angeben, die Du aus diesen vektoren bilden kannst. Test hierzu einfach alle Teilmengen mit drei Elementen auf lineare Unabhängigkeit.
Da der aufgespannte Raum die Dimension drei hat, gilt es nach drei passenden vektoren zu fahnden.
Wenn Du alles gerechnet hast, versuche es am Ende aufzuschreiben so, daß Du alles verstehst. Schlage jeden Begriff, bei dem Du Dir nicht ganz sicher bist nach.
Gruß v. Angela
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