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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 26.01.2004 | | Autor: | Dine |
Hallöle!!!
Ich muss eine Aufgabe lösen und komme einfach nicht auf das Ergebnis!
Würde mich sehr freuen, falls mir jemand weiterhelfen könnte!
Also die Aufgabe lautet:
Gibt es in M2(R) Matrizen A, B mit den folgenden Eigenschaften:
A hoch 2 = B hoch 2 = - E2 und AB = -BA ??
Zuerst dachte ich man könnte ein Beispiel finden (habe aber keins gefunden) und dann wäre die Aufgabe gelöst.
Aber dann habe ich gesehen, dass wir einen Tipp bekommen haben, der wie folgt lautet:
Zeigen sie zunächst, dass für ein x aus R hoch 2 mit x <> 0 die Vektoren x und Ax eine Basis des R hoch 2 bilden.
Stellen sie dann den Vektor Bx mittels dieser Basis dar.
Leider verstehe ich nicht, wie mich dieser Tipp weiterbringen soll!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 26.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Dine,
falls Ihr schon Determinanten hattet, ist die Sache sofort klar, wegen det(AB)=det(A)*det(B). Es kann keine solchen Matrizen geben. (Das war Unsinn, denn [mm] $\det -E_2=+1$. [/mm] -marc)
Mit dem Tipp mußt du natürlich versuchen, irgendeinen Widerspruch zu konstruieren.
Hast du denn schon gezeigt, dass x und Ax eine Basis bilden oder hast du da auch Probleme? Wenn du nicht auch den Ansatz kommst, reiche ich ihn gerne nach.
Wegen der Symmetrie der Bedingungen in A und B folgt auch sofort, dass x und Bx eine Basis bilden.
Den eigentlichen Widerspruch habe ich dann so gezeigt, indem ich nur die Basiseigenschaft von {x, Ax} und {x,Bx} benutze.
Sehr wahrscheinlich wird es aber noch mehrere Widerspruchsmöglichkeiten geben (ich bin aber nur auf diese gekommen).
Wie gesagt, falls du keinen Ansatz findest, schreibe ich dir sehr gerne meinen, ich wollte dir nur einen Gefallen tun und nicht alles sofort verraten.
Bis gleich hoffentlich (was ja nicht heißen muß, dass du nicht weiterkamst, sondern vielleicht hast du ja schon das Ergebnis zur Kontrolle),
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mo 26.01.2004 | | Autor: | Dine |
ersteinmal Dankeschön!
also mit dem Zeigen, dass x und Ax eine Basis bilden hat nich so ganz funktioniert: Die lineare Unabhängigkeit habe ich glaube ich gezeigt, aber nicht, dass die vektoren auch ein Erzeugendensystem bilden.
Aber angenommen, dass hätte man nun gezeigt, wie macht man das denn dann mit dem Zeigen des Widerspruchs durch die Basiseigenschaften??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mo 26.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Dine,
> ersteinmal Dankeschön!
> also mit dem Zeigen, dass x und Ax eine Basis bilden hat
> nich so ganz funktioniert: Die lineare Unabhängigkeit habe
> ich glaube ich gezeigt, aber nicht, dass die vektoren auch
> ein Erzeugendensystem bilden.
Die lineare Unabhängigkeit reicht doch schon, denn n lineare unabhängige Vektoren bilden eine Basis des [mm] \IR^n [/mm]. Nun, es könnte sein, dass ich das aus der Aufgabenstellung missverstanden habe, aber wir sind doch im [mm] \IR^2 [/mm], oder?
Zeig' doch mal, wie du die lineare Unabhängigkeit bewiesen hast.
> Aber angenommen, dass hätte man nun gezeigt, wie macht man
> das denn dann mit dem Zeigen des Widerspruchs durch die
> Basiseigenschaften??
Falls [mm] \{x,Ax\} [/mm] und [mm] \{x,Bx\} [/mm] Basis sind, dann kann man doch schreiben:
[mm] Bx = s*x+t*Ax [/mm] mit [mm] s,t \in \IR [/mm], und
[mm] Ax = u*x+v*Bx [/mm] mit [mm] u,v \in \IR [/mm]
Wenn du nun die erste Gleichung in die zweite einsetzt, folgt recht schnell der Widerspruch; probiere es doch noch mal selbst, sonst poste ich gleich die Lösung.
Viel Erfolg,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 27.01.2004 | | Autor: | Dine |
Die lineare Unabhängigkeit habe ich gezeigt, indem ich eine Koeffizientenmatrix gebildet habe und Zeilenumformungen gemacht habe.
Gibt es da noch einfachere Methoden die lineare Unabhängigkeit zuz zeigen?
Wenn ich die erste in die zweite Gleichung einsetzte, dann kommt bei mir leider nur Quatsch raus, mit dem ich nicht Ahoch2 =Bhoch2 = -E2 und AB = -BA widerlegen kann!!!!
Würde es sehr begrüßen, falls du mir noch einen Tipp oder die Lösung geben könntest!!
Danke!!
Mfg Dine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 27.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Dine,
> Die lineare Unabhängigkeit habe ich gezeigt, indem ich eine
> Koeffizientenmatrix gebildet habe und Zeilenumformungen
> gemacht habe.
mit einer Koeffizientenmatrix? Wie geht denn das (bei dieser Aufgabe)?
> Gibt es da noch einfachere Methoden die lineare
> Unabhängigkeit zuz zeigen?
Ich habe es so gemacht:
Angenommen, [mm] x [/mm] und [mm] Bx [/mm] wären linear abhängig. Dann gibt es ein Skalar [mm] 0\neq s\in\IR [/mm], so dass
[mm] x = s*Ax [/mm]
gilt.
Ich multipliziere beide Seiten der Gleichung mit A (von links):
[mm] \Rightarrow Ax = A*s*Ax [/mm]
[mm] \Rightarrow Ax = s*A*Ax [/mm]
[mm] \Rightarrow Ax = s*A^2x [/mm]
[mm] \Rightarrow Ax = s*(-E_2)*x [/mm]
[mm] \Rightarrow Ax = s*(-x) [/mm]
[mm] \Rightarrow Ax = -s*x [/mm]
Den Ausdruck Ax setze ich nun in die erste Gleichung ein und erhalte:
[mm] x = s*(\underbrace{-s*x}_{=Ax}) [/mm]
[mm] \Rightarrow x = -s^2*x [/mm]
Hier sieht man schon den Widerspruch, hier folgt schon [mm] x = 0 [/mm].
Deutlicher wird es durch zwei weitere Umformungsschritte:
[mm] \Rightarrow x+s^2*x = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow (1+s^2)*x = 0 [/mm]
Da [mm]1+s^2[/mm] nicht null sein kann, müßte [mm] x=0 [/mm] sein. Widerspruch.
So, die lineare Unabhängigkeit von [mm] \{x,Ax\} [/mm] und wegen symmetrischer Überlegungen auch die von [mm] \{x,Bx\} [/mm] haben wir nun gezeigt. Da [mm] \IR^2 [/mm] ein 2-dim Vektorraum ist, bilden zwei linear unabhängige Vektoren bereits eine Basis.
Wie in einer vorherigen Antwort angedeutet, kann man nun schreiben:
[mm] Bx = s*x+t*Ax [/mm] mit [mm] s,t \in \IR [/mm]
[mm] \Rightarrow BBx = s*Bx+t*BAx [/mm] (BA=-AB)
[mm] \Rightarrow B^2x = s*Bx-t*ABx [/mm] (Bx erneut einsetzen)
[mm] \Rightarrow B^2x = s*(s*x+t*Ax)-t*A(s*x+t*Ax) [/mm]
[mm] \Rightarrow B^2x = s^2*x+st*Ax-st*Ax-t^2A^2x [/mm]
[mm] \Rightarrow B^2x = s^2*x-t^2A^2x [/mm]
[mm] \Rightarrow B^2x = s^2*x+t^2x [/mm]
[mm] \Rightarrow B^2x = (s^2+t^2)x [/mm]
Da aber auch $B^2x = -x$ ist, haben wir folgende Gleichung
$ -x = [mm] (s^2+t^2)x [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] -1 = [mm] s^2+t^2 [/mm] $, da [mm] $x\neq [/mm] 0$
Damit sind wir fertig, da obige Gleichung über [mm] $\IR$ [/mm] nicht erfüllbar ist. [mm]\Box[/mm]
Es gibt also keine zwei Matrizen A und B mit den geforderten Eigenschaften.
> Wenn ich die erste in die zweite Gleichung einsetzte, dann
> kommt bei mir leider nur Quatsch raus, mit dem ich nicht
Quatsch ist doch gut!, falls es tatsächlich widersprüchlich ist, was du da rausbekommen hast.
> Ahoch2 =Bhoch2 = -E2 und AB = -BA widerlegen kann!!!!
> Würde es sehr begrüßen, falls du mir noch einen Tipp oder
> die Lösung geben könntest!!
Ist nun alles klar geworden? Falls nicht, frage bitte nach.
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 28.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
Vielleicht bin ich ja zu blöd, aber auch das verstehe ich nicht
> [mm] \gdw (1-v*t)*Ax = (u+v*s)*x [/mm]
> Mmh, so eine Darstellung heißt doch aber gerade, dass [mm] Ax [/mm]
> und [mm] x [/mm] linear abhängig sind, was ein Widerspruch zu ihrer
> Basiseigenschaft ist.
> Damit sind wir fertig. [mm]\Box[/mm]
Was ist denn, wenn [mm]1=v*t[/mm] und [mm]u=-vs[/mm] gilt?
Dann könnten [mm]x[/mm] und [mm]Ax[/mm] trotzdem linear unabhängig sein, oder?
Oder kann der Fall nicht eintreten? Warum nicht?
(Vielleicht sollte ich auch lieber mal ins Bett gehen?  )
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mi 28.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> Was ist denn, wenn [mm]1=v*t[/mm] und [mm]u=-vs[/mm] gilt?
>
> Dann könnten [mm]x[/mm] und [mm]Ax[/mm] trotzdem linear unabhängig sein,
> oder?
>
> Oder kann der Fall nicht eintreten? Warum nicht?
Da muß ich nochmal in Ruhe drüber nachdenken, du hast natürlich Recht, dass die Vektoren dann linear unabhängig sein könnten. Ich habe bis eben versucht zu zeigen, dass deine Gleichungen nicht eintreten können, aber es ist mir noch nicht gelungen.
Auch hier danke für den Hinweis, ärgerlich.
Alles Gute,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:29 Do 29.01.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Stefan,
> Vielleicht bin ich ja zu blöd, aber auch das verstehe ich
> nicht
Ich habe es tatsächlich nicht mehr geschafft, meinen Beweisgang zu retten, und da ich gleich schlafen gehen wollte, habe ich in die "Musterlösung" geschaut und meine jetzt Antwort korrigiert.
Gute Nacht,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Mo 02.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
Okay, ich habe die Lösung verstanden. Ich frage mich im Nachhinein, warum ich nicht darauf gekommen bin, denn ich hatte genau so angesetzt (es aber leider nicht konsequent zu Ende geführt).
Danke für die Verbesserung!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 28.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
> falls Ihr schon Determinanten hattet, ist die Sache sofort
> klar, wegen det(AB)=det(A)*det(B). Es kann keine solchen
> Matrizen geben.
Das verstehe ich nicht. Kannst du mir das vielleicht erklären? Ich finde keinen Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mi 28.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> > klar, wegen det(AB)=det(A)*det(B). Es kann keine solchen
> Das verstehe ich nicht. Kannst du mir das vielleicht
> erklären? Ich finde keinen Widerspruch.
Stimmt, Mist, [mm] $\det(-E_2)$ [/mm] ist ja gar nicht $-1$.
Werde das gleich verbessern, danke für den Hinweis. Zum Glück habe ich das ja nicht weiter benutzt.
Liebe Grüße,
Marc
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