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| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen, d. h. [mm] a_n>0. [/mm] Weiter gelte [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a\ge0. [/mm] Zeigen Sie nun
1. [mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=a.
[/mm]
2. Folgern Sie nun aus 1., dass [mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}=e. [/mm] |
Hi,
ich hänge gerade an der ersten Teilaufgabe.
Mir fehlt der Ansatz, da [mm] (a_n) [/mm] nicht explizit angegeben ist. Ich habe überlegt, zu zeigen dass [mm] \lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-\sqrt[n]{a_n})=0
[/mm]
Soweit ich das sehe, haben wir gelernt ![[]](/images/popup.gif) intuitiv einen Grenzwert zu erraten und dann mit der Bedingung [mm] \forall \epsilon>0 \: \exists N\in\IR \: \forall n\ge{N}\:|a_n-a|<\epsilon [/mm] ein N zu bestimmen, das die Bedingung erfüllt.
Das hilft mir aber hier nicht weiter, da die Folge ja nicht gegeben ist, sondern nur eben ein Grenzwert einer Formel, in der [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] vorkommen.
Hat jemand ein paar Tipps für mich für einen Ansatz?
Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo anaodernicht, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Mit einer einfachen Substitution kommst du bestimmt weiter.
> Sei [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen, d.
> h. [mm]a_n>0.[/mm] Weiter gelte
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a\ge0.[/mm] Zeigen Sie nun
> 1. [mm]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=a.[/mm]
> 2. Folgern Sie nun aus 1., dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}=e.[/mm]
> Hi,
>
> ich hänge gerade an der ersten Teilaufgabe.
> Mir fehlt der Ansatz, da [mm](a_n)[/mm] nicht explizit angegeben
> ist. Ich habe überlegt, zu zeigen dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-\sqrt[n]{a_n})=0[/mm]
Stimmt zwar, aber das macht es eher komplizierter als einfacher.
> Soweit ich das sehe, haben wir gelernt
> intuitiv einen Grenzwert zu erraten
> und dann mit der Bedingung [mm]\forall \epsilon>0 \: \exists N\in\IR \: \forall n\ge{N}\:|a_n-a|<\epsilon[/mm]
> ein N zu bestimmen, das die Bedingung erfüllt.
> Das hilft mir aber hier nicht weiter, da die Folge ja
> nicht gegeben ist, sondern nur eben ein Grenzwert einer
> Formel, in der [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] vorkommen.
>
> Hat jemand ein paar Tipps für mich für einen Ansatz?
> Danke schonmal.
Setz mal [mm] a_n=a^n+b_n.
[/mm]
Was kannst Du dann über die Folge [mm] (b_n)_n [/mm] aussagen?
Was folgt damit für die zu zeigende Behauptung?
Grüße
reverend
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für die Hilfe.
> Setz mal [mm]a_n=a^n+b_n.[/mm]
> Was kannst Du dann über die Folge [mm](b_n)_n[/mm] aussagen?
Damit komme ich auf [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a^{n+1}+b_n}{a^n+b_n}$. [/mm] Wenn [mm] b_n [/mm] "ausreichend klein" ist, ist das für [mm] n\to\infty [/mm] a (wenn ich es richtig verstanden habe, ist a einfach der Grenzwert von [mm] a_n).
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich das "ausreichend klein" genauer spezifizieren kann. Zumindest wenn etwas größere n-Potenzen vorkommen (wie z. B. [mm] $a^{n-1}$), [/mm] stimmt das nicht mehr.
> Was folgt damit für die zu zeigende Behauptung?
[mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b_n}=a, [/mm] wenn [mm] $b_n\ll a^n$. [/mm] Um das beweisen zu können, fehlt mir aber die genaue Bedingung für [mm] $b_n$.
[/mm]
Was ich mich auch frage, wie kann ich beweisen, dass dieses [mm] $a_n=a^n+b_n$ [/mm] die "einzige" Lösung für [mm] a_n [/mm] ist? Also dass eben die Potenz [mm] a^n [/mm] in [mm] a_n [/mm] vorkommen muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Fr 14.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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