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Hallo!Hätte eine ähnliche aufgabe,die ich lösen will---hab ja noch nicht angefangen zu studieren  !!
Also: Sei f: [a,b] --> R differenzierbar bei b und f'(b)>0. Bewiesen sie, dass f bei b ein isoliertes lokales Maximum hat, d.h, dass es ein [mm] \alpha>0 [/mm] mit
f(b)>f(x) für alle [mm] x\in\(b-\alpha,b) [/mm] gibt!!
meine gedanken:
Zuerst habe ich f'(b) berechnet!!
[mm] f'(b)=\limes_{h\to \0}\bruch{[f(b)-f(b-h)]}{h} [/mm] wobei h [mm] \ne [/mm] 0!!!
so ich behaupte,dass [mm] h=b-\alpha [/mm] ,oder?????
=> einsetzen
=> f'(b)=[mm]\limes_{h\to \0}\bruch{[f(b)-f(\alpha)]}{h}[/mm]
Da [mm] f(b)
f'(b)>0 oder???
Grüße Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Sa 25.09.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Sorry [mm] f(b)>f(\alpha) [/mm] !!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Daniel!
> Hallo!Hätte eine ähnliche aufgabe,die ich lösen will---hab
> ja noch nicht angefangen zu studieren !!
>
> Also: Sei f: [a,b] --> R differenzierbar bei b und f'(b)>0.
> Bewiesen sie, dass f bei b ein isoliertes lokales Maximum
> hat, d.h, dass es ein [mm]\alpha>0[/mm] mit
> f(b)>f(x) für alle [mm]x\in\(b-\alpha,b)[/mm] gibt!!
>
> meine gedanken:
>
> Zuerst habe ich f'(b) berechnet!!
>
> [mm]f'(b)=\limes_{h\to \0}\bruch{[f(b)-f(b-h)]}{h}[/mm] wobei h [mm]\ne[/mm]
> 0!!!
>
> so ich behaupte,dass [mm]h=b-\alpha[/mm] ,oder?????
h ist doch in dem Limes eine "lokale" Variable. Sie hat "von außen" betrachtet gar keinen festen Wert. Der Limes gibt ja gerade das Verhalten des Ausdrucks (im Limes) für h gegen 0 an. Da geht es um kein festes h.
> => einsetzen
>
> => f'(b)=[mm]\limes_{h\to \0}\bruch{[f(b)-f(\alpha)]}{h}[/mm]
>
> Da [mm]f(b)
>
> f'(b)>0 oder???
>
Ich bin mir nicht ganz sicher, was du meinst. Kann es sein, dass du davon ausgehst, dass die Funktion in b ein lokales Maximum besitzt und dass du zeigen willst, dass die Ableitung bei b dann größer 0 ist (und zwar indem du zeigst, dass der Ausdruck im Limes ab einem bestimmten h immer positiv ist und dann auch die Ableitung als Grenzwert des Ausdrucks im Limes mit h gegen 0 positiv ist).
Falls ja, hast du zwei Fehler gemacht:
1. Die Aufgabe verlangt nicht einen Beweis, dass f'(b) > 0, wenn b lokales Maximum ist (das kann man gar nicht beweisen, denn es ist im Allgemeinen falsch). Sie verlangt vielmehr einen Beweis, dass b ein lokales Maximum ist, wenn f'(b) > 0 gilt.
2. Wenn ab einem bestimmten h der Ausdruck im Limes immer positiv ist, kann der Grenzwert auch 0 sein (also nicht echt positiv), Beispiel:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] h = 0
Es kann natürlich auch sein, dass ich dich falsch verstehe.
Gruß Clemens
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Hallo!!Ich sollte diesen beweis durchführen,der in der aufgabe beschrieben ist!!
was isr eigentlich ein ISOLIERTES maximum!!
h ist doch auch ein wert,oder?h ist nichts anderes wie die differenz zweier fester x-werte,also [mm] \delta [/mm] x,oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Hallo!!Ich sollte diesen beweis durchführen,der in der
> aufgabe beschrieben ist!!
Gut, dann wissen wir, was wir zu tun haben!
> was isr eigentlich ein ISOLIERTES maximum!!
Das habe ich auch nicht gewusst, als ich zum ersten Mal geantwortet habe (überlesen  ). Habe jetzt durch google.de eine Seite gefunden, die folgendes definiert:
Wenn es ein e gibt, so dass für alle x mit |x - x0| < e gilt, dass f(x) <= f(x0), dann hat f in x0 ein lokales Maximum.
Wenn zusätzlich f(x) < f(x0) für x [mm] \not= [/mm] x0 und |x - x0| < e gilt, so heißt das Maximum isoliert.
> h ist doch auch ein wert,oder?h ist nichts anderes wie die
> differenz zweier fester x-werte,also [mm]\delta[/mm] x,oder???
h repräsentiert natürlich ein reelle Zahl. Aber es macht keinen Sinn, von "dem h" zu sprechen, denn der Grenzwert spiegelt ja das Verhalten des Differenzenquotienten mit h gegen 0 wieder. Wenn man nur den Wert des Differenzenquotienten für ein h betrachtet, kann man dadurch keine Aussage über den Grenzwert treffen. Erst die Gesamtheit aller Werte des Differenzenquotienten in Abhänigkeit von allen h's machen eine Aussage über den Grenzwert möglich.
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Sa 25.09.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Auweh!!Ich habe immer gemeint,dass [mm] \alpha [/mm] eine konstante Zahl ist,aber [mm] \alpha [/mm] ist ja variable genau wie x und nur b ist konstant,oder??
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