banachscher fixpunktsatz < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 25.04.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | In dieser aufgabe geht es darum, dass die Voraussetzungen im Satz von Banach fast scharf sind.
a)Man gebe einen nichtleeren unvollständigen metrischen Raum M und eine kontraktion f:M [mm] \to [/mm] M ohne Fixpunkte an.
b)Man gebe einen nichtleeren vollständigen metrischen Raum M sowie eine Abbildung g:M [mm] \to [/mm] M mit |g(x)-g(y)|<|x-y| für x,y [mm] \in [/mm] M ohne fixpunkte an. |
hallöle,
ich habe diese aufgabe bearbeitet und glaube eine lösung gefunden zu haben und wollte euch nun bitten mir diese vielleicht zu bestätigen oder falls sie falsch ist weiter zu helfen.
zu a) habe ich:
M=(0,1) und [mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
Begründung:- M ist unvollständig denn der grenzwert der folge [mm] \bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{1}{4},... [/mm] liegt nicht in M
-f ist [mm] kontraktion\gdw |f(x)-f(y)|\le [/mm] q|x-y| mit q [mm] \in [/mm] [0,1)
Beweis: |f(x)-f(y)| = [mm] |x^{2}-y^{2}|=|x-y||x+y|\le [/mm] 2q|x-y|, mit [mm] q<\bruch{1}{2}
[/mm]
-f besitzt keine fixpunkte in M
zu b):M=[0,1], [mm] g(x)=\bruch{1}{8}x-1
[/mm]
Begründung:-M vollständig, denn jede Cauchyfolge konvergiert in M
-|g(x)-g(y)|<|x-y| [mm] denn:|\bruch{1}{8}x-1-(\bruch{1}{8}y-1)|=|\bruch{1}{8}(x-y)|=\bruch{1}{8}|x-y|<|x-y|
[/mm]
-g besitzt in M keinen fixpunkt
Für ein statement bzgl. der richtigkeit meiner lösung wäre ich sehr dankbar...
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> In dieser aufgabe geht es darum, dass die Voraussetzungen
> im Satz von Banach fast scharf sind.
> a)Man gebe einen nichtleeren unvollständigen metrischen
> Raum M und eine kontraktion f:M [mm]\to[/mm] M ohne Fixpunkte an.
> b)Man gebe einen nichtleeren vollständigen metrischen
> Raum M sowie eine Abbildung g:M [mm]\to[/mm] M mit |g(x)-g(y)|<|x-y|
> für x,y [mm]\in[/mm] M ohne fixpunkte an.
> hallöle,
> ich habe diese aufgabe bearbeitet und glaube eine lösung
> gefunden zu haben und wollte euch nun bitten mir diese
> vielleicht zu bestätigen oder falls sie falsch ist weiter
> zu helfen.
> zu a) habe ich:
> M=(0,1) und [mm]f(x)=x^{2}[/mm]
> Begründung:- M ist unvollständig denn der grenzwert der
> folge [mm]\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{1}{4},...[/mm] liegt
> nicht in M
O.K.
> -f ist [mm]kontraktion\gdw |f(x)-f(y)|\le[/mm] q|x-y| mit q [mm]\in[/mm]
> [0,1)
> Beweis: |f(x)-f(y)| = [mm]|x^{2}-y^{2}|=|x-y||x+y|\le[/mm] 2q|x-y|,
> mit [mm]q<\bruch{1}{2}[/mm]
Setzen wir L=2q. Dann sagst Du:
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$ für alle x,y [mm] \in [/mm] (0,1)
also [mm] $|x^2-y^2|\le [/mm] L|x-y|$ für alle x,y [mm] \in [/mm] (0,1)
Für y [mm] \to [/mm] 0 liefert dies: [mm] x^2 \le [/mm] Lx für alle x [mm] \in [/mm] (0,1)
somit x [mm] \le [/mm] L für alle x [mm] \in [/mm] (0,1)
Für x [mm] \to [/mm] 1 erhlten wir L [mm] \ge [/mm] 1
f ist also keine Kontraktion !!!!
> -f besitzt keine fixpunkte in M
> zu b):M=[0,1], [mm]g(x)=\bruch{1}{8}x-1[/mm]
> Begründung:-M vollständig, denn jede Cauchyfolge
> konvergiert in M
> -|g(x)-g(y)|<|x-y|
> [mm]denn:|\bruch{1}{8}x-1-(\bruch{1}{8}y-1)|=|\bruch{1}{8}(x-y)|=\bruch{1}{8}|x-y|<|x-y|[/mm]
> -g besitzt in M keinen fixpunkt
O.K.
Secki (s.u.) hat recht
FRED
> Für ein statement bzgl. der richtigkeit meiner lösung
> wäre ich sehr dankbar...
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:53 Mo 26.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > -f besitzt keine fixpunkte in M
> > zu b):M=[0,1], [mm]g(x)=\bruch{1}{8}x-1[/mm]
> > Begründung:-M vollständig, denn jede Cauchyfolge
> > konvergiert in M
> > -|g(x)-g(y)|<|x-y|
> >
> [mm]denn:|\bruch{1}{8}x-1-(\bruch{1}{8}y-1)|=|\bruch{1}{8}(x-y)|=\bruch{1}{8}|x-y|<|x-y|[/mm]
> > -g besitzt in M keinen fixpunkt
>
> O.K.
Nicht OK! g ist keine Abbildung von M nach M - damit ist der Rest egal. Im Übrigien: wenn M kompakt ist (das ist hier der Fall), reicht für den Banachschen FPS tatsächlich [m]d(g(x),g(y))
SEcki
|
|
|
|
