basen von kerf und bildf < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung [mm] R^{4}-> R^{3} [/mm] werde definiert durch
[mm] f(x_1,x_2,x_3,x_4)= 4x_1+1x_2-2x_3-3X_4, 2x_1+x_2+x_3-4x_4, 6x_1-9x_3+ 9x_4
[/mm]
Bestimmen Sie Basen von Kerf und Bild(f)
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Hallo,
ich bnin mir da mal wieder unsicher,
wenn ich die Abbildung bezüglich der standartbasis aufschreibe,
habe ich dann als Abbildungsmatrix folgende matrix?
[mm] \pmat{ 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9}
[/mm]
um nun die basis des kerns auszurechnen habe ich nun zeilenumformungen gemacht
und dann bekomme ich
[mm] 2x_1 [/mm] = 3 [mm] x_3
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = -4 [mm] x_3
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = 0
bin nun unsicher was die Basis ist
das hier?
[mm] \vektor{1,5\\ -4\\1\\0}
[/mm]
für die basis des bildes habe ich ja
[mm] \vektor{4\\ 1\\3} \vektor{1\\ 1\\0 } [/mm] und [mm] vektor{-3\\ -4\\9}
[/mm]
einer der 4 vektoren ist linear abhängig und fällt daher weg ( [mm] \vektor{-2\\ 1\\-9}
[/mm]
stimmt das so?
vielen dank für tips,
lg
muhmuh
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> Die lineare Abbildung [mm]R^{4}-> R^{3}[/mm] werde definiert durch
> [mm]f(x_1,x_2,x_3,x_4)= 4x_1+1x_2-2x_3-3X_4, 2x_1+x_2+x_3-4x_4, 6x_1-9x_3+ 9x_4[/mm]
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> Bestimmen Sie Basen von Kerf und Bild(f)
>
> Hallo,
>
> ich bnin mir da mal wieder unsicher,
>
> wenn ich die Abbildung bezüglich der standartbasis
> aufschreibe,
Hallo,
schreibe hinfort immer Standardbasis.
> habe ich dann als Abbildungsmatrix folgende matrix?
>
> [mm]\pmat{ 4 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 & -4 \\ 6 & 0 & -9 & 9}[/mm]
Ja, richtig.
>
> um nun die basis des kerns auszurechnen habe ich nun
> zeilenumformungen gemacht
Zumindest das Ergebnis deselbigen sehen wir hier immer so gern.
>
> und dann bekomme ich
>
> [mm]2x_1[/mm] = 3 [mm]x_3[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = -4 [mm]x_3[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = 0
>
> bin nun unsicher was die Basis ist
> das hier?
> [mm]\vektor{1,5\\ -4\\1\\0}[/mm]
Ja.
>
> für die basis des bildes habe ich ja
> [mm]\vektor{4\\ 1\\3} \vektor{1\\ 1\\0 }[/mm] und [mm]\vektor{-3\\ -4\\9}[/mm]
Ich erkenne zwar nicht, wie Du den ersten Vektor ermittelt hast, aber es ist richtig.
Die Sache ist hier ja sehr leicht: der rang der Matrix ist =3, also ist das Bild der komplette [mm] \IR^3, [/mm] und eine jegliche Basis dieses Raumes ist eine richtige Antwort.
Gruß v. Angela
>
> einer der 4 vektoren ist linear abhängig und fällt daher
> weg ( [mm]\vektor{-2\\ 1\\-9}[/mm]
>
> stimmt das so?
>
>
> vielen dank für tips,
>
> lg
>
> muhmuh
>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
beim ersten vektor ist mir ein tipfehler unterlaufen
es solle heissen
[mm] \vektor{2\\ 1\\3}
[/mm]
danke fürs drüberschauen,
nun bin ich beruhigt, dass es stimmt,
hehe standard;) eigtl klar
lg
muhmuh
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Wie hast du die basis vom bild bestimmt?
Ich hab den Kern genommen ( 3/2,-4,1,0) und mit (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1) zu einer Basis vom ganzen [mm] \IR^4 [/mm] ergänzt:
f(1,1,0,1) = (2,-1,-3)
f(1,0,1,1) = (-1,-1-12)
f(0,1,1,1) = (-4,-2,-18)
Also sind die drei Ergebnisse da lin. unabh. eine Basis des Bildes?
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
so wie ich das verstanden habe,
ist das Bild der Matrix einfach das was in der Abbildungsmatrix steht.
Also als Basis die Spalten genommen.
Es sind 4 Spalten, aber die Matrix hat wie du beim bestimmen des Kerns gemerkt hast nur Rang 3,
also braucht man nur 3 Basisvektoren,
bei genauem hinschauen siehst du, dass sich der eine Vektor durch die Adition von 2 anderen darstellen lässt -> was bedeutet dass er linear abhängig ist und nicht zur basis dazugehört.
lg
muhmuh
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> so wie ich das verstanden habe,
>
> ist das Bild der Matrix einfach das was in der
> Abbildungsmatrix steht.
Hallo,
das wäre ein bißchen wenig.
Richtig: die Spalten der Matrix sind ein Erzeugendensystem des Bildes.
Man muß aus den Spalten eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausfischen, dann hat man eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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> Wie hast du die basis vom bild bestimmt?
Hallo,
es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu tun, und "scharf draufgucken" ist oft gar nicht die schlechteste - aber Du willst ja sicher ein Rezept.
Bring die Matrix auf Zeilenstufenform.
Wenn Du nun (beispielsweise) die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in der 1., 3. und 4.Spalte stehen hast, dann weißt Du, daß die 1., 3. und 4. Spalte der Ursprungsmatrix (!) eine Basis des Bildes ist.
Andere Möglichkeit: Transponiere die Matrix, bring sie in ZSF, transponiere sie wieder. Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten sind eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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