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| Aufgabe | Geben sie mi hilfe des vektorprodukts eine orthogonalbasis an für den [mm] R^3, [/mm] die die vetkoren [mm] \vektor{x}^T [/mm] = (1,1,0) und [mm] \vektor{y}^T [/mm] = (1,-1,2) enthält.
Konstruieren sie daraus eine orthonormalbasis. |
also die ersten schritte spare ich mir hier weil es nur um den letzten schritt geht, die anderen erwähne ich kurz ohne die rechenweise hinzuschreiben.
1.) prüfe ich anhand des skalarprodukts von x und y ob x und y zueinander orthogonal sind, sprich ob das skalarprodukt = 0 ist. (was der fall ist)
2.) erstelle ich das kreuzprodukt von x und y, wodurch ich den dritten vektor z bekomme der orthogonal zu x und y ist. [mm] \vektor{z}^T=(-3,0,3)
[/mm]
3.) damit habe ich dann ja die orthogonal basis erstellt.
4.) nun das problem: wenn ich die orthonormal basis haben will, habe ich in der lösung gesehen muss ich die vektoren in eine norm setzen.
also rechne ich [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel, \parallel [/mm] y [mm] \parallel, \parallel [/mm] z [mm] \parallel
[/mm]
dann wird in der lösung folgendes gemacht:
[mm] \bruch{x}{\parallel x \parallel} \bruch{y}{\parallel y \parallel} \bruch{z}{\parallel z \parallel} [/mm]
den sinn versteh ich noch nicht ganz.
und des weiteren gibt mein prof. es auch genau so an als lösung.
ist denn diese darstellung: [mm] \bruch{x}{\wurzel{3}} \bruch{y}{\wurzel{6}} \bruch{z}{\wurzel{18}} [/mm] nun meine angabe für die basis? weil das verstehe ich nicht so wirklich
was ich weiß ist dass für die orthonormal basis x und y das skalarprodukt =1 sein muss. oder?
danke für jede hilfe.
ach eine kurze frage nebenbei: wenn ich prüfe ob die vektoren orhtogonal zueinander sind, sprich das skalarprodukt = 0 ist, wie schreibe ich es hin?
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}, \vektor{y1\\ y2 \\ y3} [/mm] oder muss ich [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] * [mm] (y1,y2,y3)^T
[/mm]
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Hi,
> Geben sie mi hilfe des vektorprodukts eine orthogonalbasis
> an für den [mm]R^3,[/mm] die die vetkoren [mm]\vektor{x}^T[/mm] = (1,1,0)
> und [mm]\vektor{y}^T[/mm] = (1,-1,2) enthält.
> Konstruieren sie daraus eine orthonormalbasis.
> also die ersten schritte spare ich mir hier weil es nur um
> den letzten schritt geht, die anderen erwähne ich kurz
> ohne die rechenweise hinzuschreiben.
>
> 1.) prüfe ich anhand des skalarprodukts von x und y ob x
> und y zueinander orthogonal sind, sprich ob das
> skalarprodukt = 0 ist. (was der fall ist)
>
> 2.) erstelle ich das kreuzprodukt von x und y, wodurch ich
> den dritten vektor z bekomme der orthogonal zu x und y ist.
> [mm]\vektor{z}^T=(-3,0,3)[/mm]
Wie kommst du denn auf diesen Wert? Ich komme auf
[mm] \vektor{1 \\ 1\\0}\times\vektor{1 \\ -1\\2}=\vektor{2 \\ -2\\-2}
[/mm]
>
> 3.) damit habe ich dann ja die orthogonal basis erstellt.
>
> 4.) nun das problem: wenn ich die orthonormal basis haben
> will, habe ich in der lösung gesehen muss ich die vektoren
> in eine norm setzen.
>
> also rechne ich [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel, \parallel[/mm] y
> [mm]\parallel, \parallel[/mm] z [mm]\parallel[/mm]
>
> dann wird in der lösung folgendes gemacht:
>
> [mm]\bruch{x}{\parallel x \parallel} \bruch{y}{\parallel y \parallel} \bruch{z}{\parallel z \parallel}[/mm]
>
> den sinn versteh ich noch nicht ganz.
Es handelt sich um eine Normalisierung, nach welcher alle Vektoren die Länge 1 haben. Dazu wird durch die ursprüngliche Länge geteilt.
>
> und des weiteren gibt mein prof. es auch genau so an als
> lösung.
>
> ist denn diese darstellung: [mm]\bruch{x}{\wurzel{3}} \bruch{y}{\wurzel{6}} \bruch{z}{\wurzel{18}}[/mm]
> nun meine angabe für die basis? weil das verstehe ich nicht so wirklich
Nein. Die Längen stimmen allesamt nicht.
Wie berechnest du denn die Längen der Vektoren? Standardgemäß ist [mm] \|a\|=\sqrt{}, [/mm] wobei <a,a> das Standardskalarprodukt von a mit sich selbst ist.
>
> was ich weiß ist dass für die orthonormal basis x und y
> das skalarprodukt =1 sein muss. oder?
ja, welches denn? Wahrscheinlich meinst du das eines jeden Basisvektors mit sich selbst.
>
> danke für jede hilfe.
>
> ach eine kurze frage nebenbei: wenn ich prüfe ob die
> vektoren orhtogonal zueinander sind, sprich das
> skalarprodukt = 0 ist, wie schreibe ich es hin?
>
> [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}, \vektor{y1\\ y2 \\ y3}[/mm] oder muss
> ich [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm] * [mm](y1,y2,y3)^T[/mm]
Das Standardskalarprodukt <v,w> der Vektoren v,w kann man so schreiben:
[mm] \qquad$=w^T\cdot [/mm] v$
Gruß
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jap habe auch gesehen dass der 3. vektor nicht passt. entschuldigung... habe da wohl ne flasche aufgabe abgetippt. habe dort auch den [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -2} [/mm] vektor raus.
frag mich gerade was ich da fürn müll hingeschrieben habe gestern. bitte nochmals um entschuldigung.
habe da letztendlich folgendes raus:
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] : [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] : [mm] \wurzel{6}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] z [mm] \parallel [/mm] : [mm] \wurzel{12}
[/mm]
so... muss ich dann für jeden vektor allgemein mal v genannt
[mm] \bruch{v}{\parallel v \parallel} [/mm] rechnen?
das wäre dann ja in meinen drei fällen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{6}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{12}} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -2}
[/mm]
aber kriege ich dadurch jetzt für jeden vektor eins raus?
wenn ich mit den vektoren das skalarprodukt errechne:
[mm] \vektor{ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0} [/mm] = 1
[mm] \vektor{ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{-\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{\wurzel{6}}{6}} [/mm] * [mm] \vektor{ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{-\wurzel{6}}{6} \\ \ \bruch{\wurzel{6}}{6}} [/mm] = 0,5
[mm] \vektor{ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3} \\ \ \bruch{-\wurzel{3}}{3}} [/mm] * [mm] \vektor{ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3}} [/mm] = 1
ist das so richtig gemacht? also das skalarprodukt aus den neuen vektoren zu berechnen? aber bei dem 2. kommt ja nur 0,5 raus. nimmt man bei soetwas eigentlich immer die euklidische norm, noch so als randfrage.
vielen dank für jede hilfe
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> jap habe auch gesehen dass der 3. vektor nicht passt.
> entschuldigung... habe da wohl ne flasche aufgabe
> abgetippt. habe dort auch den [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ -2}[/mm] vektor
> raus.
>
> frag mich gerade was ich da fürn müll hingeschrieben habe
> gestern. bitte nochmals um entschuldigung.
>
> habe da letztendlich folgendes raus:
>
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{6}[/mm]
> [mm]\parallel[/mm] z [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{12}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so... muss ich dann für jeden vektor allgemein mal v
> genannt
>
> [mm]\bruch{v}{\parallel v \parallel}[/mm] rechnen?
>
> das wäre dann ja in meinen drei fällen:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{6}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{12}}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ -2}[/mm]
>
> aber kriege ich dadurch jetzt für jeden vektor eins raus?
Jeder derart normalisierte Vektor hat dann die Länge 1.
>
> wenn ich mit den vektoren das skalarprodukt errechne:
>
> [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0}[/mm] = 1
>
> [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{-\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{\wurzel{6}}{6}}[/mm] * [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{-\wurzel{6}}{6} \\ \ \bruch{\wurzel{6}}{6}}[/mm] = 0,5
Hier ist dir in der 3. Komponente die 2 verloren gegangen, deswegen kommst du nur auf 0.5
>
> [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3} \\ \ \bruch{-\wurzel{3}}{3}}[/mm] * [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3}}[/mm] = 1
>
> ist das so richtig gemacht? also das skalarprodukt aus den
> neuen vektoren zu berechnen? aber bei dem 2. kommt ja nur
> 0,5 raus.
Da kommt dann auch 1 raus.
> nimmt man bei soetwas eigentlich immer die
> euklidische norm, noch so als randfrage.
Im Allgemeinen sollte das reichen. Man kann ja auch so tun, als ob es nur das Standardskalarprodukt gibt. Jeder euklidische Raum [mm] (\IR [/mm] Vektorraum+Skalarprodukt) hat eine Orthonormalbasis. Deswegen bezieht man sich meistens nur noch auf das Standardskalarprodukt. Die Norm ist definiert als [mm] \|v\|=\sqrt{}, [/mm] wobei <v,v> das Skalarprodukt von v mit sich selbst ist.
Ganz so genau kenne ich mich damit aber auch nicht aus...
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> vielen dank für jede hilfe
Gruß
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ja da hab ich wohl die 2 vergessen:D *schäm*. okay danke schonal. aber eine frage habe ich noch. siehe untere schritte
> > jap habe auch gesehen dass der 3. vektor nicht passt.
> > entschuldigung... habe da wohl ne flasche aufgabe
> > abgetippt. habe dort auch den [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ -2}[/mm] vektor
> > raus.
> >
> > frag mich gerade was ich da fürn müll hingeschrieben habe
> > gestern. bitte nochmals um entschuldigung.
> >
> > habe da letztendlich folgendes raus:
> >
> > [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{6}[/mm]
> > [mm]\parallel[/mm] z [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{12}[/mm]
>
> >
> > so... muss ich dann für jeden vektor allgemein mal v
> > genannt
> >
> > [mm]\bruch{v}{\parallel v \parallel}[/mm] rechnen?
> >
> > das wäre dann ja in meinen drei fällen:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{6}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{12}}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ -2}[/mm]
> >
> > aber kriege ich dadurch jetzt für jeden vektor eins raus?
> Jeder derart normalisierte Vektor hat dann die Länge 1.
reicht es wenn ich es bis hier her rechne? oder soll ich auch noch das skalarprodukt ausrechnen? weil mien prof. in den lösungen hat hiernach aufgehört
> >
> > wenn ich mit den vektoren das skalarprodukt errechne:
> >
> > [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0}[/mm]
> * [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ 0}[/mm]
> = 1
> >
> > [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{-\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{\wurzel{6}}{6}}[/mm]
> * [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{6}}{6} \\ \bruch{-\wurzel{6}}{6} \\ \ \bruch{\wurzel{6}}{6}}[/mm]
> = 0,5
> Hier ist dir in der 3. Komponente die 2 verloren gegangen,
> deswegen kommst du nur auf 0.5
> >
> > [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3} \\ \ \bruch{-\wurzel{3}}{3}}[/mm]
> * [mm]\vektor{ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{-\wurzel{3}}{3}}[/mm]
> = 1
> >
> > ist das so richtig gemacht? also das skalarprodukt aus den
> > neuen vektoren zu berechnen? aber bei dem 2. kommt ja nur
> > 0,5 raus.
> Da kommt dann auch 1 raus.
> > nimmt man bei soetwas eigentlich immer die
> > euklidische norm, noch so als randfrage.
> Im Allgemeinen sollte das reichen. Man kann ja auch so
> tun, als ob es nur das Standardskalarprodukt gibt. Jeder
> euklidische Raum [mm](\IR[/mm] Vektorraum+Skalarprodukt) hat eine
> Orthonormalbasis. Deswegen bezieht man sich meistens nur
> noch auf das Standardskalarprodukt. Die Norm ist definiert
> als [mm]\|v\|=\sqrt{},[/mm] wobei <v,v> das Skalarprodukt von v
> mit sich selbst ist.
> Ganz so genau kenne ich mich damit aber auch nicht aus...
> >
> > vielen dank für jede hilfe
> Gruß
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Hi,
> reicht es wenn ich es bis hier her rechne? oder soll ich
> auch noch das skalarprodukt ausrechnen? weil mien prof. in
> den lösungen hat hiernach aufgehört
Ja, das reicht vollkommen. Es ist klar das nach dem Normalisieren die Länge der Vektoren 1 ist, da sie mit der ursprünglichen Länge 'gestaucht' wurden.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Do 03.03.2011 | | Autor: | freak-club |
okay. vielen dank für die hilfe
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