bedingt, unbedingt konvergent < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Do 01.12.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....ich kapier noch nicht so ganz die Definition der bedingten bzw. unbedingten Konvergenz...ein paar Bsp. zum Vorstellen wären auch ganz nett...:)
Im Skript:
Sei [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] eine Reihe.
a.) ist f: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] bijektiv, so heißt [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{f(n)}
[/mm]
eine Umordnung von [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n}.
[/mm]
Heißt dass wenn ich [mm] a_{f(1)} [/mm] habe es abbildet nach [mm] a_{1} [/mm] ?
Ich kann mir dass so theoretisch nicht vorstellen....
b.) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] heißt unbedingt konvergent [mm] \gdw
[/mm]
Jede Umordnung von [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] konvergiert und hat dieselbe Summe (nähmlich [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] ).
Tja...wenn ich nbicht weiß was Umordnung heißt kann ich das wohl vergessen....
c.) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] heißt bedingt konvergent [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] ist konvergent aber nicht unbedingt konvergent.
Braucht man also zur bedingten Konvergenz nur die Konvergenz der Folge und sonst nichts?
Wenn ja was ist dann der Unterschied zwischen bedingt konvergent und konvergent?
mfg,
Hannes
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Hallo Hannes!
Die Begriffe bedingte und unbedingte Konvergenz zielen darauf ab, ob die Summationsreihenfolge relevant ist. Machen wir mal ein Beispiel:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty (-1)^n\bruch 1n=-\ln(2)$.
[/mm]
Aber du kannst diese Summe auch umordnen: Du addierst immer erst zwei positive Zahlen auf, dann ziehst du eine negative ab. In etwa so:
[mm] $-1+\left(\bruch 12+\bruch 14-\bruch 13\right)+\left(\bruch 16+\bruch 18-\bruch 15\right)+\left(\bruch 1{10}+\bruch 1{12}-\bruch 17\right)+\dots$.
[/mm]
Jedes der Glieder der ursprünglichen Folge kommt hier genau einmal vor. Aber: Diese Reihe divergiert!
Anders sieht es zum Beispiel bei [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch 1{n^2}$ [/mm] aus: Jede Umordnung dieser Reihe konvergiert gegen denselben Grenzwert, nämlich [mm] $\bruch{\pi^2}6$.
[/mm]
Der Begriff einer Umordnung ist ganz intuitiv gedacht: Du addierst die Glieder in einer anderen Reihenfolge.
Nun zum Unterschied zwischen bedingter und "normaler" Konvergenz: Bei bedingter Konvergenz hat man bereits festgestellt, dass die Reihe zwar konvergent ist, aber nicht unbedingt konvergent.
Ich hoffe, dass dir die Begriffe jetzt etwas klarer geworden sind...
Gruß, banachella
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