bedingte Erwartung berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 So 31.10.2010 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo! Die Aufgabe lautet:
Es seien [mm]X,Y : \Omega \to \{0,1\}[/mm] unabhängige ZV, die beide [mm] \beta_p-verteilt [/mm] sind. (also Bernoulli-ZV mit Erfolgswahrscheinlichkeit p). Weiter sei [mm]Z := 1_{\{X+Y =0\}}[/mm] und [mm]\mathcal F = \sigma(Z)[/mm]. Berechne
[mm]\mathbb E(X \mid \mathcal F)[/mm] und [mm]\mathbb E(Y \mid \mathcal F)[/mm].
Sind diese ZV immer noch unabhängig ? [Tip : Bestimme [mm] \sigma(Z)] [/mm] |
Offensichtlich ist ja [mm]Z \sim \beta_{(1-p)^2}[/mm] verteilt.
Aber berechne ich nun für die Indikatorfunktion die [mm] \sigma-Algebra?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Mo 01.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
da Z nur null und eins sein kann, ist die sigma Algebra sehr übersichtlich, sie enthält [mm] $\Omega$ [/mm] die leere Menge, die Menge aller [mm] $\omega$'s [/mm] für welche Z null ist und die Menge aller [mm] $\omega$'s [/mm] für welche Z eins ist. Wie du leicht nachprüfst sind so auch alle möglichen Schnitte und Vereinigung enthalten.
$E[X | [mm] \mathcal{F}]= 0*1(\omega)_{[Z(\omega)=1]}+(0*P[X=0 [/mm] | Z=0]+1*P[X=1 | [mm] Z=0])*1(\omega)_{[Z(\omega)=0]}$
[/mm]
es fehlt uns noch
[mm]P[X=0 | Z=0][/mm] und [mm]P[X=1 | Z=0][/mm]
wir wissen [mm] $P[Z=0]=1-P[X+Y=0]=1-(1-p)^2$
[/mm]
$P[X=0 | Z=0] = [mm] \frac{P[X=0, Z=0]}{1-(1-p)^2}=\frac{P[X=0,Y=1]}{1-(1-p)^2}=\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2}$
[/mm]
$P[X=1 | Z=0] = [mm] \frac{P[X=1, Z=0]}{1-(1-p)^2}=\frac{P[X=1]}{1-(1-p)^2}=\frac{p}{1-(1-p)^2}$
[/mm]
analog für $E[Y | [mm] \mathcal{F}]$
[/mm]
$E[X | [mm] \mathcal{F}]$ [/mm] und $E[Y | [mm] \mathcal{F}]$ [/mm] sind aber nicht mehr unabhängig denn es ist z.B.
[mm]P[E[X | \mathcal{F}]\not= 0 | E[Y | \mathcal{F}] = 0 ]=0\not=
P[E[X | \mathcal{F}]\not= 0]=(1-(1-p)^2)[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Bappi |
Vielen Dank für deine ausführlichen Erläuterungen.
Nur noch eine Frage: Wie hast du die bedingte Erwartung "so schnell" berechnet?
Wir haben sie bis jetzt leider nur noch als orthogonale Projektion definiert :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mo 01.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
die bedingte Erwartung ist eine Zufallsvariable, denn wir wissen ja nicht welches [mm] \omega [/mm] eintritt (in diesem Beispiel ob eins eintritt für welches Z=0 oder eins für welches Z=1). Für ein eingetretenes [mm] \omega [/mm] wird die bedingte Erwartung zur Zahl.
Im diskreten ist die bedingte Erwartung deshalb darstellbar als Summe der Werte welche sie für bestimmte [mm] \omega [/mm] annimmt jeweils mit der Indikatorfunktion multipliziert.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 01.11.2010 | | Autor: | vivo |
Für die bedingte Erwartung [mm] X'=E[X|\mathcal{F}] [/mm] gilt auch:
[mm]E[X1_A]=E[X'1_A] \forall A \in \mathcal{A}[/mm]
da im obigen Beispiel für A nur Z=1, Z=0 oder ganz [mm] \Omega [/mm] in Frage kommt, könntest du die bedingte Erwartung auch über diese Forderung bestimmen.
Gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:46 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Bappi |
Ich glaube langsam verstehe ich das Prinzip.
Eine Frage habe ich aber noch zur Berechnung:
Warum ist $ P[Z=0]=1-P[X+Y=0]$ bzw $P[E[X | [mm] \mathcal{F}]\not= 0]=1-(1-p)^2$? [/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:00 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Bappi |
Noch eine Frage zur Berechnung allgemein:
Benötigen wir nicht auf noch den Fall Z=1?
Denn du meintest ja $E[X | [mm] \mathcal{F}]= 0\cdot{}1(\omega)_{[Z(\omega)=1]}+(0\cdot{}P[X=0 [/mm] | [mm] Z=0]+1\cdot{}P[X=1 [/mm] | [mm] Z=0])\cdot{}1(\omega)_{[Z(\omega)=0]}$
[/mm]
Oder sind diese Fälle alle in [mm] $0\cdot{}1(\omega)_{[Z(\omega)=1]}$ [/mm] mit einbegriffen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:22 Di 02.11.2010 | | Autor: | Bappi |
Alles noch einmal in Ruhe gelesen und nun verstanden. Vielen Dank vivo =).
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