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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mi 04.11.2009 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Im Rahmen der Schweinegrippeepedemie wurde ein Teil der Bevölkerung geimpft. Die Erfahrung zeigt, dass von fünf Kranken nur einer geimpft ist. Man weiß zusätzlich, dass unter zwölf Geimpften nur ein Kranker ist.
a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass ein Viertel der Bevölkerung geimpft wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann ein Nichtgeimpfter krank? |
Ich muss gestehen ich bin ein bisschen irritiert!
K = krank; I = geimpft
[mm] \bruch{1}{5}[/mm] der Kranken ist geimpft: [mm] P \left(I|K \right) = \bruch{1}{5} [/mm]
unter 12 Geimpften nur ein Kranker: [mm] P \left(K|I \right) = \bruch{1}{12} [/mm]
[mm] P \left(I\right) = \bruch{1}{4} [/mm] , [mm] P \left(I^{c}\right) = \bruch{3}{4} [/mm]
Gesucht ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Und zwar, dass eine Person krank wird unter der Bedingung, dass sie nicht geimpft ist, also:
[mm] P \left(K|I^{c} \right) = \bruch{P \left(I^{c}|K \right)*P\left(K\right)}{P \left(I^{c}|K \right)*P\left(K\right)+P \left(I^{c}|K^{c} \right)*P\left(K^{c}\right)}[/mm]
aber da fehlen mir jetzt Werte, die ich einsetzen kann z.B [mm] P\left(K\right) [/mm] und [mm]P\left(K^{c}\right) [/mm]
Andersrum hätte ich alle Werte, aber [mm]P \left(I^{c}|K \right)[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht geimpft ist unter der Bedingung, dass er Krank ist und das ist doch nicht gefragt.....
wo liegt der Fehler???????
Bitte bitte Hilfe!
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Hallo,
ich übernehm mal dein Notation...
> K = krank; I = geimpft
>
> [mm]\bruch{1}{5}[/mm] der Kranken ist geimpft: [mm]P \left(I|K \right) = \bruch{1}{5}[/mm]
> unter 12 Geimpften nur ein Kranker: [mm]P \left(K|I \right) = \bruch{1}{12}[/mm]
> [mm]P \left(I\right) = \bruch{1}{4}[/mm] , [mm]P \left(I^{c}\right) = \bruch{3}{4}[/mm]
> Gesucht ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Und zwar,
> dass eine Person krank wird unter der Bedingung, dass sie
> nicht geimpft ist, also:
> [mm]P \left(K|I^{c} \right) = \bruch{P \left(I^{c}|K \right)*P\left(K\right)}{P \left(I^{c}|K \right)*P\left(K\right)+P \left(I^{c}|K^{c} \right)*P\left(K^{c}\right)}[/mm]
soweit, so gut, ich verstehe allerdings nicht, warum du unterm bruchstrich einen so komplizierten Term stehen hast.
Nach Bayes' Theorem sollte unterm Burchstrich nur [mm]P\left(I^c\left)[/mm] stehen (und zusammengefasst tut es das ja auch)
> aber da fehlen mir jetzt Werte, die ich einsetzen kann z.B
> [mm]P\left(K\right)[/mm] und [mm]P\left(K^{c}\right)[/mm]
[mm]P\left(K\right)[/mm] kannst du auch einfach über Bayes ausrechnen:
[mm]P\left(I|K\right) = \bruch{P\left(K|I\right)*P\left(I\right)}{P\left(K\right)}[/mm]
also
[mm]P\left(K\right) = \bruch{P\left(K|I\right)*P\left(I\right)}{P\left(I|K\right)}[/mm]
[mm]P\left(I^c|K\right)[/mm] ist ja eigentlich auch schon gegeben, als Wahrscheinlichkeit, das ein Kranker nicht geimpft ist, also als Gegenereignis von [mm]P\left(I|K\right)[/mm]
Das kannst du dann einfach in die erste Gleichung einsetzen und solltest die Lösung erhalten.
Hoffe ich konnt helfen,
hotblack
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