bedingte Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 04.10.2009 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Ein Test stuft eine Person in 5% der Fälle fälschlicherweise als krank und in 10% Fälle fälschlicherweise als gesund ein. Der Anteil der Kranken in der Bevölkerung beträgt 2%.
G=tatsächlich gesund, K=tatsächlich krank, g=gesund diagnostizier, k=krank diagnostiziert
1.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein als krank diagnostizierter tatsächlich gesund ist?
2.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein als gesund diagnostizierter tatsächlich krank ist? |
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe handelt es sich um ein Beispiel zur Bayesschen Regel und somit auch zum Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Prinzipiell denke ich verstehe ich das Beispiel und die Sätze.
Allerdings habe ich anhand dieses Beispiels festgestellt, dass ich Probleme in der formellen Umsetzung habe. Ich versuche zunächst zu erläutern, was ich verstanden habe, um dann meine Probleme aufzuzeigen.
Also aus den Voraussetzungen geht hervor:
PK=0,02 [mm] \Rightarrow [/mm] PG=0,98
P(k|G)=0,05 [mm] \Rightarrow [/mm] P(g|G)=0,95
P(g|K)=0,1 [mm] \Rightarrow [/mm] P(k|K)=0,9
gesucht ist:
1. P(G|k)
2. P(K|g)
In beiden Fällen wird zunächst die bayessche Regel angewandt:
1. [mm] P(G|k)=\bruch{P(k|G)PG}{Pk}=\bruch{0,049}{Pk}
[/mm]
2. [mm] P(K|g)=\bruch{P(g|K)PK}{Pg}=\bruch{0,002}{Pg}
[/mm]
weiterhin gesucht ist also:
1. Pk
2. Pg
nach totaler Wahrscheinlichkeit gilt:
1. [mm] Pk=\summe_{i=1}^{n}P(k|A_{i})PA_{i} [/mm] wobei [mm] \summe_{i=1}^{n}A_{i} [/mm] ist Menge aller Ergebnisse mit [mm] PA_{i}>0, [/mm] da [mm] A_{i} [/mm] paarweise disjunkt
2. [mm] Pg=\summe_{i=1}^{n}P(g|A_{i})PA_{i} [/mm] wobei [mm] \summe_{i=1}^{n}A_{i} [/mm] ist Menge aller Ergebnisse mit [mm] PA_{i}>0, [/mm] da [mm] A_{i} [/mm] paarweise disjunkt
Mein Problem besteht jetzt eigentlich darin, dass ich nicht weiss wie die [mm] A_{i} [/mm] aussehen und warum sie dann so aussehen sollen. Habe mir mehrere Varianten überlegt, aber keine hat in der Anwedung etwas, für mich gescheites ergeben.
Grundsätzlich denk ich, dass die Ergebnismenge [mm] \Delta={G,K,g,k} [/mm] ist. In diesem Fall würde aber z.B. gelten:
1. [mm] Pk=\summe_{i=1}^{n}P(k|A_{i})PA_{i}=P(k|G)PG+P(k|K)PK+P(k|g)Pg+P(k|k)Pk
[/mm]
Mein Problem liegt in dem 3. und 4. Summanden dieser Summe. Habe keine Ahnung, was die bedeuten sollen bzw. nach "Musterlösung" gilt ohnehin einfach:
[mm] Pk=\summe_{i=1}^{n}P(k|A_{i})PA_{i}=P(k|G)PG+P(k|K)PK
[/mm]
Dann wäre alles kein Problem. Aber warum gilt das?
Also hauptsächlich lauten meine Fragen also:
1.Wie muss die Ergebnismenge definiert werden und warum?
2.Wie wird die Ergebnismenge in disjunkte Teilmengen/Ereignisse unterteilt und warum?
Dann müsste sich der Rest doch von allein erklären, oder?
Hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke schon mal und viele Grüße
Patrick
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 04.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Patrick,
du brauchst die folgende Version des Bayes-Theorems:
[mm] $P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid
\overline{A})P(\overline{A})}$
[/mm]
Setze z.B. $G=A$, $k=B$, [mm] $K=\overline{A}$ [/mm] ...
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 04.10.2009 | | Autor: | oeli1985 |
Kann ich diese Version aus der angegebenen Version irgendwie ableiten?
Würde gern in der Lage sein einen Zusammenhang herstellen zu können.
ach und wie sieht die Ergebnismenge /Delta aus? So wie ich es angegeben hab?
Mir ist wichtig, dass ich ein formell einwandfreies Beispiel kenne.
Danke schon mal für die erste Antwort.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 04.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
die Ergebnismenge [mm] $\Omega$ [/mm] ist die Menge aller Personen.
Der Satz von Bayes besagt, dass fuer $n$ sich gegenseitig ausschliessende
Ereignisse [mm] $A_1,\dots,A_n\subset\Omega$ [/mm] und ein Ereignis [mm] $B\subset\Omega$ [/mm] gilt:
[mm] $P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i\mid B)P(A_i)}{\sum_{k=1}^nP(A_k\mid B)P(A_k)}$.
[/mm]
Fuer $n=2$ folgt die von mir frueher angegebene Formel: [mm] $A_1=A$, $A_2=\overline{A}$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
|
