bedingte Wkeit mit Stoppzeiten < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:55 Do 15.12.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo!
Gegeben sei eine ZV [mm] $\tau \sim \mathrm{Exp}(1)$, [/mm] also exponentialverteilt mit Parameter 1: [mm] $\mathbb P(\tau [/mm] > t) = [mm] e^{-t}$. [/mm] Wir definieren weiter den Prozess [mm] $\mathrm [/mm] X = [mm] (X_t)_{t\geq 0}$ [/mm] mit
[mm] $X_t [/mm] = [mm] X_t(\omega) [/mm] = [mm] \max(0, [/mm] t - [mm] \tau(\omega))$,
[/mm]
wo [mm] $\mathcal F_t [/mm] = [mm] \sigma(X_s, [/mm] s [mm] \leq [/mm] t)$, $t [mm] \geq [/mm] 0$ die natürliche Filtration ist und [mm] $\mathcal F_\tau$ [/mm] die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] der [mm] $\tau$-Vergangenheit [/mm] (assoziierte [mm] $\sigma$-Algebra)
[/mm]
[mm] $\mathcal F_\tau [/mm] := [mm] \left\{ A \in \mathcal F_\infty : A \cap \{\tau \leq t\} \in \mathcal F_t, \thinspace \forall t \geq 0 \right\}, \thinspace \mathcal F_\infty [/mm] = [mm] \sigma \left( \bigcup_{t\geq 0} \mathcal F_t \right)$ [/mm]
Nun will ich zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten ausrechnen:
(i) [mm] $\mathbb P(X_{\tau + s} \leq [/mm] x [mm] \mid \mathcal F_\tau) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & x > s\\ 0 & x \leq s\end{cases}$
[/mm]
(ii) [mm] $\mathbb P(X_{t+s} \leq [/mm] x [mm] \mid X_t [/mm] = 0) = [mm] \begin{cases} 1 & x > s\\ e^{-(s-x)} & x \leq s\end{cases}$ [/mm] |
Nun ist ja leicht zu sehen, dass [mm] $X_t [/mm] = a > 0$ für ein $t$, und damit [mm] $X_{t+s} [/mm] = a + s$ für alle $s [mm] \geq [/mm] 0$ gilt. Ganz einfach weil [mm] $X_t$ [/mm] nur feste Werte annimmt. Außerdem: Gilt für ein $t$ mit [mm] $X_t [/mm] = 0$, so muss [mm] $X_s [/mm] = 0$ für [mm] $s\leq [/mm] t$ gelten.
Nun (auch durch Skizze oder einfach Einsetzen) sieht man auch sofort, dass [mm] $\{ \omega : \tau(\omega) \geq t \} [/mm] = [mm] \{ \omega : X_t(\omega) = 0\} \in \mathcal F_t$, [/mm] also ist [mm] $\tau$ [/mm] eine Stoppzeit.
Wähle ich nun ein [mm] $\tau$ [/mm] gilt weiter [mm] $\mathbb P(X_{\tau + s} [/mm] = s) = 1$ (auch einfach einsetzen).
Ok das zur Vorarbeit. Jetzt möchte ich die bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen.
Betrachte ich nun (i), dann folgt doch mit [mm] $\mathbb P(X_{\tau + s} [/mm] = s) = 1$ direkt
[mm] $\mathbb P(X_{\tau + s} \leq [/mm] x [mm] \mid \mathcal F_\tau) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & x > s\\ 0 & x \leq s\end{cases}$
[/mm]
Eigentl. einsichtig. Stünde dort eine "t" statt [mm] "\tau" [/mm] und [mm] "\mathcal F_t", [/mm] dann würden wir ja einfach gegen die natürliche Filtration à la [mm] $\mathbb P(X_{t + s} \leq [/mm] x [mm] \mid \mathcal F_t) [/mm] = [mm] $\mathbb P(X_{t + s} \leq [/mm] x [mm] \mid \sigma(X_s, s\leq [/mm] t)) "bedingen" und es wäre einfach offensichtlich. Nur versteh ich nicht ganz wie ich das bei [mm] $\mathcal F_\tau$ [/mm] angehe.
Zu (ii):
Definition der bedingten Erwartung gibt:
[mm] $\mathbb P(X_{t+s} \leq [/mm] x [mm] \mid X_t [/mm] = 0) = [mm] \frac{\mathbb P(X_{t+s} \leq x, X_t = 0)}{\mathbb P(X_t = 0)} [/mm] = [mm] \frac{\mathbb P(X_{t+s} \leq x, X_t = 0)}{\mathbb P(\tau \geq t)} [/mm] = [mm] \frac{\mathbb P(X_{t+s} \leq x, X_t = 0)}{e^{-t}} [/mm] = ?$
Hier weiß ich nicht, wie ich den Zähler weiter "verarbeiten" kann.
Grüße!
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 10:22 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Bappi |
Skizzen helfen meist weiter. Wir haben ein Intervall t bis t + s und suchen darin alle exponentialverteilten ZV ab t + s - x. Also haben wir gerade
$ [mm] \mathbb P(X_{t+s} \leq [/mm] x [mm] \mid X_t [/mm] = 0) = [mm] \mathbb P(\tau \geq [/mm] t + s - x [mm] \mid \tau \geq [/mm] t) = [mm] \mathbb P(\tau \geq [/mm] s - x) $
wegen der Gedächtnislosigkeit. Wie ich den ersten Teil aber konkret berechnen soll, weiß ich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 19.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 17.12.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
meinst du bedingte Erwartung oder bedingte Wahrscheinlichkeit?
Grüße
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:26 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Bappi |
Wahrscheinlichkeiten, wie in der Formel steht...sry.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 19.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 17.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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