bedingter Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 Di 07.04.2009 | | Autor: | wee |
Hallo,
ich lerne gerade für eine Prüfung und komme bei dem folgenden Beispiel nicht weiter:
Der bedingte Erwartungswert [mm] E(X|\mathcal{F}) [/mm] einer nichtnegativen Zufallsgröße X gegeben einer [mm] \sigma-Algebra \mathcal{F} [/mm] ist ja durch die Eigenschaften
(1) [mm] E(X|\mathcal{F}) [/mm] ist [mm] \mathcal{F}-messbar
[/mm]
(2) [mm] \integral_{A}E(X|\mathcal{F}) [/mm] dP = [mm] \integral_{A}X [/mm] dP [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{F}
[/mm]
P-f.s. fest gelegt.
Nun das Beispiel:
Falls die [mm] Unter-\sigma-Algebra \mathcal{F} [/mm] von der Form [mm] \sigma(A)=\{\Omega, \emtyset, A, A^c\} [/mm] ist mit P(A) [mm] \in [/mm] (0,1), dann ist [mm] E(X|\mathcal{F}) [/mm] wegen der [mm] \mathcal{F}-messbarkeit [/mm] auf A und [mm] A^c [/mm] jeweils konstant und die jeweiligen Werte ergeben sich wegen (2) zu [mm] \bruch{1}{P(A)}\integral_{A}X [/mm] dP und [mm] \bruch{1}{P(A^c)}\integral_{A^c}X [/mm] dP und damit
[mm] E(x|\mathcal{F})=\bruch{1}{P(A)}\integral_{A}X [/mm] dP [mm] \bf{1_{A}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{P(A^c)}\integral_{A^c}X [/mm] dP [mm] \bf{1_{A^c}}
[/mm]
Meine Fragen sind nun:
1. Warum ist [mm] E(X|\mathcal{F}) [/mm] auf den Mengen A, [mm] A^c [/mm] konstant, wie argumentiert man hier genau und warum werden genau die oben stehenden Werte angenommen?
2. Wo kommen beim Endergebnis die Indikatorfunktionen her?
Ich bin für jede Hilfe dankbar
Grüße
wee
2.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 09.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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