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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 So 22.08.2004 | | Autor: | HHKA |
Hallo,
ich habe eine kurze Frage zum Arcus-Tangens. Taylorreihe, komplexer Logarithmus, etc. sind verschiedene Arten den arctan zu berechnen. Wie komme ich aber nun auf die etwas "einfacheren" Ergebnisse/Darstellungsweise wie z.B. [mm] \arctan \wurzel{-3} = -\frac{\pi}{3}[/mm]? Gibt es eine Tabelle oder einfache Formel, ohne gleich mit komplexen Zahlen rechnen zu müssen?
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Ich denke einmal, dein Beispiel ist falsch. Müßte das Minuszeichen nicht vor die Wurzel?
Denn wenn ich [mm]\tan{\left(-\frac{\pi}{3}\right)}[/mm] berechne, erhalte ich [mm]-\sqrt{3}[/mm].
Deine Frage verstehe ich nicht ganz. Ich interpretiere das einmal so: Du suchst schöne Werte für die Bilder der Arcustangensfunktion. Im allgemeinen wird das nicht gehen. Es gibt allerdings eine paar Winkel, deren Tangens sich durch Quadratwurzeln ausdrücken läßt. Dann sind natürlich von denen auch die Arcustangenswerte schön.
Als da wären:
[mm]\tan{0}=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \arctan{0}=0[/mm]
[mm]\tan{\frac{\pi}{6}}=\sqrt{\frac{1}{3}} \ \ \Leftrightarrow \ \ \arctan{\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{\pi}{6}[/mm]
[mm]\tan{\frac{\pi}{4}}=1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \arctan{1}=\frac{\pi}{4}[/mm]
[mm]\tan{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3} \ \ \Leftrightarrow \ \ \arctan{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}[/mm]
[mm]\lim_{x \uparrow \frac{\pi}{2}}\tan{x}=\infty \ \ \Leftrightarrow \ \ \lim_{x \to \infty}\arctan{x}=\frac{\pi}{2}[/mm]
Wegen [mm]\tan{(-x)}=-\tan{x}[/mm] gilt auch [mm]\arctan{(-x)}=-\arctan{x}[/mm]. So bekommst du die entsprechenden Werte für negative Argumente.
Und weitere einfache Werte gibt es nicht. Es wird dann gleich komplizierter. Zum Beispiel:
[mm]\tan{\frac{\pi}{5}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}} \ \ \Leftrightarrow \ \ \arctan{\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)}=\frac{\pi}{5}[/mm]
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