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| Aufgabe | | löse folg. integral: [mm] \int asin^2\bruch{phi}{3}*\wurzel{sin^2\bruch{phi}{3}+1} [/mm] |
hat jemand eine idee, wie man den Ausdruck unter der Wurzel umformen kann, sodass die wurzel wegfällt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Do 15.01.2009 | | Autor: | Adamantin |
> löse folg. integral: [mm]\int asin^2\bruch{phi}{3}*\wurzel{sin^2\bruch{phi}{3}+1}[/mm]
>
> hat jemand eine idee, wie man den Ausdruck unter der Wurzel
> umformen kann, sodass die wurzel wegfällt?
Ich gehe mal recht in der Annahme, dass um die ganzen [mm] \pi [/mm] s eine Klammer sein soll? Ich mache den Ausdruck gerade einmal richtig, ja?
[mm]\int a*sin^2(\bruch{\pi}{3})*\wurzel{sin^2(\bruch{\pi}{3})+1}[/mm]
Übrigens heißt die Zahl Pi, und nicht phi, das wäre ein griechischer Buchstabe, z.B: für die Gauß'sche Summenformel oder Winkelfunktionen: [mm] \phi. [/mm] Den griechischen Buchstaben erhälst du durch den Backslash und dann den Buchstaben ausgeschreiben also z.B: \ + gamma = [mm] \gamma
[/mm]
So nun zu deinem Problem, hilft dir das weiter?:
[mm] sin^2+cos^2=1 sin^2=1-cos^2
[/mm]
[mm]\int a*sin^2(\bruch{\pi}{3})*\wurzel{-cos^2(\bruch{\pi}{3})+2}[/mm]
mehr weiß ich aber gerade auch nicht, aber immerhin sieht die Formel jetzt schön aus ;)
Leider eliminiert das nicht deine Wurzel, so einfach wird es also nicht gehen.
Einzige Möglichkeit, die ich sehe, wäre noch, [mm] sin^2 [/mm] ebenfalls in die Wurzel zu bringen, also als [mm] sin^4, [/mm] dann hättest du glaube ich [mm] sin^6+sin^4 [/mm] oder? Und dann integrieren mit der Wurzel als 1/2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Wonach soll hier überhaupt integriert werden? Wenn es sich hier wirklich um [mm] \pi [/mm] handelt und [mm] a\in\IR [/mm] ist, würde man hier eine Stammfunktion einer Konstanten suchen. Möglicherweise meintest du [mm] \varphi? [/mm] Vielleicht könntest du das Integral nocheinmal vollständig aufschreiben.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Do 15.01.2009 | | Autor: | sepp-sepp |
ja ich meinte schon [mm] \varphi, [/mm] wusste nur nicht wie ich es eintippen sollte. integriert wird nach [mm] d\varphi
[/mm]
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Hallo sepp-sepp,
das kann ich gar nicht glauben, dass Ihr so etwas integrieren sollt. Wolfram Integrator verrät mir eine Lösung, die elliptische Integrale erster und zweiter Art enthält; das ist nicht "mal eben" herzuleiten.
Allerdings ist folgendes Integral leicht lösbar:
[mm] \integral {a*\sin{\big(\bruch{2\varphi}{3}\big)}\cdot{}\wurzel{\sin^2{\big(\bruch{\varphi}{3}\big)}+1}\ d\varphi}
[/mm]
Da führt eine Substitution schnell zum Ziel, wenn man die Additionstheoreme des Sinus auch noch kennt.
Also, was war nun eigentlich die Aufgabe?
Adamantins Fassung mit [mm] \pi, [/mm] das ja normalerweise nicht als Variable gebraucht wird (schon gar nicht im Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen), kanns ja auch noch nicht sein.
lg,
reverend
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also dem integral liegt folgendes zugrunde: man soll die länge der gesamten kurve r= a [mm] sin^3(\bruch{\varphi}{3}) [/mm] bestimmen.
der formel zufolge habe ich folg. integral erhalten: [mm] \int\wurzel{a^2sin^6(\bruch{\varphi}{3})+a^2sin^4(\bruch{\varphi}{3})} d\varphi
[/mm]
dies ergab dann nach umformung (ausklammern) das angegebene integral.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | sepp-sepp |
ist vielleicht da schon ein fehler oder dann nach der umformung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Do 15.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also dem integral liegt folgendes zugrunde: man soll die
> länge der gesamten kurve r= a [mm]sin^3(\bruch{\varphi}{3})[/mm]
> bestimmen.
> der formel zufolge habe ich folg. integral erhalten:
> [mm]\int\wurzel{a^2sin^6(\bruch{\varphi}{3})+a^2sin^4(\bruch{\varphi}{3})} d\varphi[/mm]
Beim zweiten Summanden fehlt ein Faktor [mm] $\cos^2(\bruch{\varphi}{3})$, [/mm] denn die Ableitung von r nach $ [mm] \varphi$ [/mm] ist
[mm] a *\sin^2(\bruch{\varphi}{3}) * \cos(\bruch{\varphi}{3}) [/mm]
Dann wird auch das Integral einfach.
Viele Grüße
Rainer
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ja, klar, danke! dummer fehler. demnach würde ich nach der integration von [mm] a\int sin^2(\bruch{\varphi}{3}) d\varphi [/mm] folgendes ergebnis bekommen:
[mm] a\bruch{\varphi}{2}-\bruch{3}{2}acos(\bruch{\varphi}{3})sin(\bruch{\varphi}{3})+C
[/mm]
stimmt das?
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Hallo sepp-sepp,
> ja, klar, danke! dummer fehler. demnach würde ich nach der
> integration von [mm]a\int sin^2(\bruch{\varphi}{3}) d\varphi[/mm]
> folgendes ergebnis bekommen:
>
> [mm]a\bruch{\varphi}{2}-\bruch{3}{2}acos(\bruch{\varphi}{3})sin(\bruch{\varphi}{3})+C[/mm]
> stimmt das?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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