bergwanderung mit steigung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Sa 04.04.2009 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | | Durch die Funktionsfläche [mm] z=\bruch{1}{\wurzel{2}}*sin(xy) [/mm] sei ein hügliges Gelände beschrieben. Eine Wandergruppe befindet sich an der Geländestelle (0,0,0) und will zu einer bei [mm] (1,1,\bruch{sin(1)}{\wurzel{2}} [/mm] befindlichen Jausenstaion aufbrechen, wobei der Weg senkrecht über der Geraden x=y verlaufen soll. Alle Teilnehmer sind sehr sportlich und können notfalls Steigungen bis zu 45°überwinden. Werden sie die Jausenstaion erreichen? |
Hallo,
kaum hat das neue Semester angefangen komme ich mal wieder gar nicht mit meinen Übungszetteln klar.
Bei dieser Aufgabe habe ich an eine Richtungsableitung gedacht, wäre dann meine Funktion die Funktionsfläche nach 0 umgelstellt? Darf ich für x,y,z dann in die Definiton der Richtungsableitung 0 einsetzten? Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
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> Durch die Funktionsfläche [mm]z=\bruch{1}{\wurzel{2}}*sin(xy)[/mm]
> sei ein hügliges Gelände beschrieben. Eine Wandergruppe
> befindet sich an der Geländestelle (0,0,0) und will zu
> einer bei [mm]\left(1,1,\bruch{sin(1)}{\wurzel{2}}\right)[/mm] befindlichen
> Jausenstaion aufbrechen, wobei der Weg senkrecht über der
> Geraden x=y verlaufen soll. Alle Teilnehmer sind sehr
> sportlich und können notfalls Steigungen bis zu
> 45°überwinden. Werden sie die Jausenstaion erreichen?
> Hallo,
> kaum hat das neue Semester angefangen komme ich mal wieder
> gar nicht mit meinen Übungszetteln klar.
> Bei dieser Aufgabe habe ich an eine Richtungsableitung
> gedacht, wäre dann meine Funktion die Funktionsfläche nach
> 0 umgestellt? Darf ich für x,y,z dann in die Definiton der
> Richtungsableitung 0 einsetzten? Für Tipps wäre ich sehr
> dankbar.
Hallo erisve,
Da die Wanderung so schön der Geraden y=x entlang führt,
ist dies wohl einfach zu berechnen. Benützen wir noch den
Parameter [mm] t\in[0,1] [/mm] für eine Parametrisierung des Weges.
Zum Parameterwert t gehört der Geländepunkt P(x/y/z)
mit x=t, y=t und [mm] z=\bruch{1}{\wurzel{2}}*sin(t^2). [/mm]
Der in horizontaler Richtung bis dahin zurückgelegte Weg
ist [mm] s=\wurzel{2}*t. [/mm] Wenn man also das "Profil" des Wander-
wegs in einem s-z-Koordinatensystem aufzeichnet, so ist
[mm] z(s)=\bruch{1}{\wurzel{2}}*sin(t^2)=\bruch{1}{\wurzel{2}}*sin(\bruch{s^2}{2})
[/mm]
Die Steigung des Weges an dieser Stelle entspricht der
Ableitung dieses Terms nach s. Man kann dann entscheiden,
ob die maximal erlaubte Steigung erreicht oder allenfalls
überschritten wird.
Natürlich entspricht die so berechnete Steigung der
Richtungsableitung in der Richtung des Vektors (1,1).
Umstellen muss man die Flächengleichung zu deren
Berechnung gar nicht.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Sa 04.04.2009 | | Autor: | erisve |
hey,erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, ich denke ich wäre nicht darauf gekommen eine Funktion in Abhängigkeit von der horizontalen Wegstercke aufzustellen und jenes gibt also die Steigung an? Okay dann muss ich ja jetzt nur noch für s den maximalen Wert [mm] \wurzel{2} [/mm] einseten und würde dann rauskriegen dass die Steigung maximal 0,54 steil wird, demnach schaffen die bergwanderer diese Steigungen da sie Steigungen bis zu 0,785 überwinden können. Richtig so?
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> hey,erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, ich
> denke ich wäre nicht darauf gekommen eine Funktion in
> Abhängigkeit von der horizontalen Wegstercke aufzustellen
> und jenes gibt also die Steigung an? Okay dann muss ich ja
> jetzt nur noch für s den maximalen Wert [mm]\wurzel{2}[/mm] einseten
> und würde dann rauskriegen dass die Steigung maximal 0,54
> steil wird, demnach schaffen die bergwanderer diese
> Steigungen da sie Steigungen bis zu 0,785 überwinden
> können. Richtig so?
Moment. Die angegebene Funktion gibt z als Funktion
der zurückgelegten (horizontalen) Strecke s. Die Steigung
des Weges wird durch die Ableitungsfunktion davon,
also durch [mm] z'(s)=\bruch{dz}{ds} [/mm] beschrieben.
Die grösste Steigung muss natürlich nicht beim grössten
s-Wert [mm] s=\wurzel{2} [/mm] angenommen werden.
Und die höchste zugelassene Steigung ist nicht 0.785 !
LG
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