bernoullische DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Do 13.10.2005 | | Autor: | lumpi |
hallo!
ich hatte heute mathevorlesung und wir haben die Bernoullishce DGL gleichung besprochen!leider versteh ich da einen schritt nicht!ich schreib mal auf was wir geschrieben haben:
--------------------------------------------------------------------------------------------
y'= [mm] \alpha(x)y+ \beta(x)y^{ \delta}
[/mm]
für [mm] \delta=0 [/mm] und [mm] \delta=1 [/mm] ist diese DGL linear!
die logistische DGL P'=aP(K-P)=aKP-aP² ist eine bernoullische DGL mit [mm] \delta=2
[/mm]
zur lösung der Bernoullischen DGl transformiert man sie mit [mm] z:=y^{1- \delta} [/mm] in eine lineare DGL für z.
=> z'= (1- [mm] \delta)y^{- \delta}y'
[/mm]
---------------------------------------------------------------------------------------------
und genau diesen letzten schritt versteh ich nicht! wenn ich z ableite komme ich doch niemals auf y'! hab ich da was grundsätzliches zum thema transformation nicht verstanden!
wir hatten noch ein weiteres beispiel:
P'=aP(K-P)=aKP-aP²
transformation: [mm] p^{-1}
[/mm]
z'=-aKZ+a
versteh ich auch überhaupt nicht!
hat einer von euch eine idee!häng jetzt schon den ganzen nachmittag dadrüber!
gruß
lumpi
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Hallo lumpi,
> hallo!
>
> ich hatte heute mathevorlesung und wir haben die
> Bernoullishce DGL gleichung besprochen!leider versteh ich
> da einen schritt nicht!ich schreib mal auf was wir
> geschrieben haben:
>
> --------------------------------------------------------------------------------------------
> y'= [mm]\alpha(x)y+ \beta(x)y^{ \delta}[/mm]
>
> für [mm]\delta=0[/mm] und [mm]\delta=1[/mm] ist diese DGL linear!
> die logistische DGL P'=aP(K-P)=aKP-aP² ist eine
> bernoullische DGL mit [mm]\delta=2[/mm]
>
> zur lösung der Bernoullischen DGl transformiert man sie mit
> [mm]z:=y^{1- \delta}[/mm] in eine lineare DGL für z.
> => z'= (1- [mm]\delta)y^{- \delta}y'[/mm]
>
> ---------------------------------------------------------------------------------------------
>
> und genau diesen letzten schritt versteh ich nicht! wenn
> ich z ableite komme ich doch niemals auf y'! hab ich da was
> grundsätzliches zum thema transformation nicht verstanden!
da wurde die Kettenregel angewendet.
y ist ja nicht eine Variable, sondern ein Funktion von x.
>
> wir hatten noch ein weiteres beispiel:
> P'=aP(K-P)=aKP-aP²
> transformation: [mm]p^{-1}[/mm]
> z'=-aKZ+a
> versteh ich auch überhaupt nicht!
Das ist nur eine Umformung.
[mm]
\begin{gathered}
z\; = \;y^{ - 1} \; \Rightarrow \;y\; = \;z^{ - 1} \hfill \\
z'\; = \; - \;y^{ - 2} \;y'\; \Rightarrow \;y'\; = \; - \;z'\;z^{ - 2} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Anschließendes Einsetzen in die DGL liefert:
[mm]
\begin{gathered}
- z'\;z^{ - 2} \; = \;a\;K\;z^{ - 1} \; - \;a\;z^{ - 2} \hfill \\
\Leftrightarrow \; - \;z^{ - 2} \;z'\; = \;z^{ - 2} \left( {a\;K\;z\; - \;a} \right) \hfill \\
\Rightarrow \;z'\; = \; - \;a\;K\;z\; + \;a \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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