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| Aufgabe | | Zeigen oder widerlegen Sie: Sind [mm] [a_{i}, b_{i}] [/mm] für i= 1,2,...n [mm] \in \IN [/mm] endlich viele abgeschlossene Intervalle und ist f: [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [a_{i}, b_{i}] \to \IR [/mm] stetig auf [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [a_{i}, b_{i}], [/mm] so ist f( [mm] bigcup_{i=1}^{n} [a_{i}, b_{i}] [/mm] ) beschränkt. |
Hallo!
Leider stehe ich bei dieser Aufgabe ein wenig auf dem Schlauch. Ich weiß, dass ich wohl den Satz anwenden muss, der besagt, dass wenn f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig, ist f([a,b]) beschränkt. Mir erscheint die Aufgabe irgendwie so sehr logisch... also, wenn ich schon Intervalle habe, für die das gilt, dann ist es doch eigentlich auch logisch, dass die Vereinigung dann auch gilt, oder mache ich einen Denkfehler? Wie könnte man das denn formal beweisen?
Ich danke euch schon jetzt für eure Hilfe!
LG Erdbeerrose
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Mo 26.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Tipp: nimm dir die Definition der Beschränktheit: zum Beispiel gibt es für jedes i eine Zahl [mm]C_i[/mm], sodass [mm]|f(x)|\le C_i[/mm] für [mm]x\in[a_i,b_i][/mm].
Du musst zeigen, dass es ein C gibt, sodass [mm]|f(x)|\le C[/mm] für [mm]x\in\bigcup_{i=1}^{n}[a_i,b_i][/mm].
Kannst du diese Zahl C angeben, wenn du die [mm]C_i[/mm] kennst?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
Danke für deine Hilfe, allerdings bin ich noch immer ein wenig ratlos... Deine Hinweise habe ich verstanden, aber dann hört es auch schon auf.
Um mich zu vergewissern: Die Voraussetzung ist also schon einmal, dass es zu jedem x [mm] \in [a_{i}, b_{i}] [/mm] ein [mm] C_{i} [/mm] gibt, so dass die Bedingung [mm] |f(x)|\le [/mm] C erfüllt ist.
Also muss ich nun ein C finden, was sozusagen "über allen" gefundenen C´s steht? Also dann das Maximum von allen C´s? Und das wäre der ganze Beweis?
Ich danke dir schon jetzt! Schöne Woche,
Erdbeerrose
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Di 27.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für deine Hilfe, allerdings bin ich noch immer ein
> wenig ratlos... Deine Hinweise habe ich verstanden, aber
> dann hört es auch schon auf.
> Um mich zu vergewissern: Die Voraussetzung ist also schon
> einmal, dass es zu jedem x [mm]\in [a_{i}, b_{i}][/mm] ein [mm]C_{i}[/mm]
> gibt, so dass die Bedingung [mm]|f(x)|\le[/mm] C erfüllt ist.
> Also muss ich nun ein C finden, was sozusagen "über allen"
> gefundenen C´s steht? Also dann das Maximum von allen C´s?
> Und das wäre der ganze Beweis?
Ja, das war's. Wichtig ist noch, dass es immer so ein C gibt, weil es endlich viele Intervalle sind. Wären es unendlich viele, kannst du sofort ein Gegenbeispiel angeben.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer!
Alles klar! Ich danke dir.
Liebe Grüße,
Erdbeerrose
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