beschränkte Umordnung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 12.01.2009 | | Autor: | tonno |
| Aufgabe | | Es sei [mm] f:\IN\to\IN [/mm] eine beschränkte Umordnung, also eine bijektive Abbildung, so dass es eine Konstante C>0 gibt, mit |f(n)-n|<C für alle [mm] n\varepsilon\IN. [/mm] Zeige, dass jede Reihe [mm] \sum a_n [/mm] (mit [mm] a_n\varepsilon\IR [/mm] für alle [mm] n\varepsilon\IN) [/mm] genau dann konvergiert, wenn die Reihe [mm] \sum a_{f(n)} [/mm] konvergiert. |
Die Aufgabe hab Ich ja soweit verstanden.
Jedoch ist mir nicht klar was Ich mit dem |f(n)-n|<C so richtig anfangen soll.
Daraus ergibt sich auch, das Ich mit dem beweis nicht gerade fertig werde. Weiterhin ist die Ausgangsreihe ja nicht absolut konvergent... irgendwie raff ichs dadurch nicht. Brauch mal einen Ansatz für den Beweis. Oder eine kurze Erklärung. Vielen Dank!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:22 Di 13.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es sei [mm]f:\IN\to\IN[/mm] eine beschränkte Umordnung, also eine
> bijektive Abbildung, so dass es eine Konstante C>0 gibt,
> mit |f(n)-n|<C für alle [mm]n\varepsilon\IN.[/mm] Zeige, dass jede
> Reihe [mm]\sum a_n[/mm] (mit [mm]a_n\varepsilon\IR[/mm] für alle
> [mm]n\varepsilon\IN)[/mm] genau dann konvergiert, wenn die Reihe
> [mm]\sum a_{f(n)}[/mm] konvergiert.
Erstmal: du brauchst nur die eine Richtung zu zeigen! (Ist naemlich $f$ beschraenkt, so auch [mm] $f^{-1}$.)
[/mm]
> Die Aufgabe hab Ich ja soweit verstanden.
> Jedoch ist mir nicht klar was Ich mit dem |f(n)-n|<C so
> richtig anfangen soll.
Nun, damit sollst du die Behauptung zeigen. Ohne diese Voraussetzung stimmt sie naemlich nicht.
> Daraus ergibt sich auch, das Ich mit dem beweis nicht
> gerade fertig werde. Weiterhin ist die Ausgangsreihe ja
> nicht absolut konvergent... irgendwie raff ichs dadurch
> nicht. Brauch mal einen Ansatz für den Beweis. Oder eine
> kurze Erklärung. Vielen Dank!!!
Du weisst, dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert, d.h. [mm] $\lim A_n$ [/mm] existiert mit [mm] $A_n [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n a_i$. [/mm] Betrachte jetzt die Folge [mm] $B_n$ [/mm] mit [mm] $B_n [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n a_{f(i)}$. [/mm] Was kannst du ueber [mm] $A_n [/mm] - [mm] B_n$ [/mm] aussagen? Zeige, dass es eine Nullfolge ist, indem du [mm] $|A_n [/mm] - [mm] B_n|$ [/mm] nach oben abschaetzt. (Hier kommt das $C$ in's Spiel!)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:00 Di 13.01.2009 | | Autor: | tonno |
Danke für die schnelle Hilfe.
Dennoch hab Ich ein paar Knackpunkte.
> Du weisst, dass [mm]\sum a_n[/mm] konvergiert, d.h. [mm]\lim A_n[/mm]
> existiert mit [mm]A_n := \sum_{i=1}^n a_i[/mm]. Betrachte jetzt die
> Folge [mm]B_n[/mm] mit [mm]B_n := \sum_{i=1}^n a_{f(i)}[/mm]. Was kannst du
> ueber [mm]A_n - B_n[/mm] aussagen?
gehe Ich von einer unendlichen Reihe auf eine endliche zurück, um die einzelnen Partialsummen der Folge zu beleuchten und dann einen Rückschluss die unendliche Reihe zu machen???
> Zeige, dass es eine Nullfolge ist, indem du [mm]|A_n - B_n|[/mm] nach
> oben abschaetzt.
Müsste Ich nicht [mm] |B_n [/mm] - [mm] A_n| [/mm] Abschätzen? obwohl läuft ja auf das selbe hinaus...
Das ist dann sicherlich kleiner als das C lt Def.. Und wenn das dann schließlich für alle Partialsummen gilt, folgt dann daraus das [mm] \sum a_{f(n)} [/mm] konvergiert, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Di 13.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke für die schnelle Hilfe.
> Dennoch hab Ich ein paar Knackpunkte.
>
> > Du weisst, dass [mm]\sum a_n[/mm] konvergiert, d.h. [mm]\lim A_n[/mm]
> > existiert mit [mm]A_n := \sum_{i=1}^n a_i[/mm]. Betrachte jetzt die
> > Folge [mm]B_n[/mm] mit [mm]B_n := \sum_{i=1}^n a_{f(i)}[/mm]. Was kannst du
> > ueber [mm]A_n - B_n[/mm] aussagen?
>
> gehe Ich von einer unendlichen Reihe auf eine endliche
> zurück, um die einzelnen Partialsummen der Folge zu
> beleuchten und dann einen Rückschluss die unendliche Reihe
> zu machen???
Ja. Die Konvergenz der unendlichen Reihe ist ueber die Konvergenz der Partialsummen definiert.
> > Zeige, dass es eine Nullfolge ist, indem du [mm]|A_n - B_n|[/mm]
> nach
> > oben abschaetzt.
>
> Müsste Ich nicht [mm]|B_n[/mm] - [mm]A_n|[/mm] Abschätzen? obwohl läuft ja
> auf das selbe hinaus...
Genau.
> Das ist dann sicherlich kleiner als das C lt Def.. Und
Wieso sollte das?! Das stimmt zwar fuer gross genuge $n$, nur ist $C$ nicht beliebig klein. Das bringt dich nicht weiter.
Du musst es nicht durch $C$ abschaetzen!
Mach dir lieber erstmal klar was das $C$ machst, indem du verschiedene Moeglichkeiten fuer $f$ aufschreibst und versuchst zu schauen ob es da ein $C$ gibt...
LG Felix
|
|
|
|
