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| Aufgabe 1 | | Zeige: Hat f eine beschränkte Ableitung auf [a,b], so ist f von beschränkter Variation |
| Aufgabe 2 | Zeige: Die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}, & \mbox{für } x \in (0,1], \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \end{cases}
[/mm]
ist differenzierbar auf [0,1], aber nicht von beschränkter Variation |
Hallo!
Ich habe bei beiden Aufgaben nicht die leisteste Ahnung wie ich ansetzen soll. Bin für jeden Tipp (um selbst weiter zu kommen) dankbar! Ich tüftle schon seit einiger Zeit bei der ersten Aufgabe herum, aber irgendwie komme ich von "beschränkte Ableitung" also
[mm] \integral_{a}^{b}{f'(x) dx} [/mm] = f(b) - f(a)
nie auf die beschränkte Variation. ich wüsste auch nicht wie man hier argumentieren müsste um auf lipschitz-stetigkeit zu kommen.
Bei der zweiten Aufgabe tappe ich leider völlig im Dunklen.
Vielen Dank für jeden Tipp!
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mo 02.11.2009 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> Zeige: Hat f eine beschränkte Ableitung auf [a,b], so ist
> f von beschränkter Variation
> Zeige: Die Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}, & \mbox{für } x \in (0,1], \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \end{cases}[/mm]
>
> ist differenzierbar auf [0,1], aber nicht von beschränkter
> Variation
> Hallo!
>
> Ich habe bei beiden Aufgaben nicht die leisteste Ahnung wie
> ich ansetzen soll. Bin für jeden Tipp (um selbst weiter zu
> kommen) dankbar! Ich tüftle schon seit einiger Zeit bei
> der ersten Aufgabe herum, aber irgendwie komme ich von
> "beschränkte Ableitung" also
> [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}[/mm] = f(b) - f(a)
> nie auf die beschränkte Variation. ich wüsste auch nicht
> wie man hier argumentieren müsste um auf
> lipschitz-stetigkeit zu kommen.
>
es waere gut zu wissen, wie genau die voraussetzungen an $f$ sind (diffbar?) und wie ihr beschraenkte variation definiert habt.
gruss
Matthias
> Bei der zweiten Aufgabe tappe ich leider völlig im
> Dunklen.
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> Vielen Dank für jeden Tipp!
>
> lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:00 Di 03.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Es gibt keine weiteren Voraussetzungen für die Funktion. Ich habe die Aufgabenstellung 1:1 hier gepostet.
Funktionen von beschränkter Variation haben wir wie folgt definiert:
Sei f auf [a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] und P = [mm] \{ x_0, x_1, \ldots , x_n \} [/mm] Partition von [a,b] mit a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] x_n [/mm] = b
so gilt
[mm] V_P(f) [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} |f(x_i) [/mm] - [mm] f(x_{i-1})|
[/mm]
[mm] V_{a}^{b} [/mm] (f) = [mm] Var_{a}^{b} [/mm] (f) = [mm] sup_{P} V_P(f)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 1:
Sei c [mm] \ge [/mm] 0 so, dass $|f'(x)| [mm] \le [/mm] c$ ist für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b]. Sei nun [mm] a=x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] < ..... < [mm] x_n [/mm] =b eine Zerlegung von [a,b]
Zu zeigen ist doch, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|
[/mm]
unterhalb einer von der Zerlegung unabhängigen Schranke bleibt.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein [mm] t_i [/mm] zwischen [mm] x_{i-1} [/mm] und [mm] x_i [/mm] mit
[mm] f(x_i)-f(x_{i-1})= f'(t_i)(x_i-x_{i-1})
[/mm]
Somit:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|= \summe_{i=1}^{n}|f'(t_i)|*(x_i-x_{i-1}) \le [/mm] c [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_i-x_{i-1})= [/mm] c(b-a)$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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