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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Di 17.06.2008 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | Sei [mm] z\in\IC, n\in\IR. [/mm] Die Funktion [mm] I_{n} [/mm] sei als koeffizient bei der Laurent-
Entwicklung der Funktion [mm] \alpha \mapsto e^{\bruch{1}{2}z(\alpha - \bruch{1}{\alpha})} [/mm] um Null definiert:
[mm] e^{\bruch{1}{2}z(\alpha - \bruch{1}{\alpha})} [/mm] = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}I_{n}(z)\alpha^{n}
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] I_{n}(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(nx-zsinx)dx} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!(n+k)!}(\bruch{z}{2})^{2k+n}. [/mm] |
Hallo,
Leider hab ich nicht die geringste Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Wäre toll, wenn mir einer ein paar Tipps geben könnte!
Danke schonmal!
MfG
balisto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mi 18.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]z\in\IC, n\in\IR.[/mm] Die Funktion [mm]I_{n}[/mm] sei als
> koeffizient bei der Laurent-
> Entwicklung der Funktion [mm]\alpha \mapsto e^{\bruch{1}{2}z(\alpha - \bruch{1}{\alpha})}[/mm]
> um Null definiert:
> [mm]e^{\bruch{1}{2}z(\alpha - \bruch{1}{\alpha})}=\summe_{n=-\infty}^{\infty}I_{n}(z)\alpha^{n}[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm]I_{n}(z)[=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{cos(nx-zsinx)dx} = \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!(n+k)!}(\bruch{z}{2})^{2k+n}.[/mm]
> Hallo,
>
> Leider hab ich nicht die geringste Ahnung, wie ich an diese
> Aufgabe rangehen soll.
> Wäre toll, wenn mir einer ein paar Tipps geben könnte!
Für das Integral würde ich es mal mit der Integraldarstellung der Koeffizienten einer Laurentreihe versuchen:
[mm] I_n(z) = \bruch{1}{2\pi i}\oint_\gamma \bruch{e^{\bruch{1}{2}z(\alpha - \bruch{1}{\alpha})}}{\alpha^{n+1}}d\alpha [/mm],
wobei [mm] $\gamma$ [/mm] eine geschlossene Kurve um 0 ist.
Die Summe am Schluss kannst du entweder durch Reihenentwicklung des Cosinus und gliedweise Integration oder aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ableiten:
[mm] e^{\bruch{1}{2}z(\alpha - \bruch{1}{\alpha})} = e^{\bruch{1}{2}z\alpha}*e^{-\bruch{1}{2}\bruch{z}{\alpha}} [/mm]
Die beiden e-Funktionen entwickelst du wie üblich, schreibst sie als Laurentreihen in [mm] $\alpha$ [/mm] und bildest dann das Cauchy-Produkt. Dich interessiert am Ende ja nur der Koeffizient des Terms [mm] $\alpha^n$.
[/mm]
Übrigens: Alles, was du über Besselfunktionen wissen willst, findest du im Tabellenwerk von Abramowitz/Stegun, Besselfunktionen ![[]](/images/popup.gif) hier.
Vorsicht: Dort heisst die Besselfunktion [mm] $J_n(z)$. $I_n(z)$ [/mm] bedeutet eine etwas andere, die sogenannte modifizierte Besselfunktion.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mi 18.06.2008 | | Autor: | balisto |
Ah, ok. Vielen Dank!
Die Integraldarstellung hab ich jetzt hinbekommen.
Die Summe probier ich dann in Ruhe am Wochenende. Bei Fragen meld ich mich.
Nochmals Dankeschön.
MfG
balisto
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