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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
[mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind ja linear unabhängig. Also wäre das schon mal die Basis von U.
Die Basis von V müsste ja [mm] v_4, v_5 [/mm] und [mm] v_6 [/mm] sein, weil die auch alle linear unabhängig sind. Kommt mir etwas komisch vor, dass bei beiden nichts rausfällt, aber hab bei Gauß auch keine Möglichkeit gefunden eine Nullzeile zu machen.
Wäre das richtig erstmal?
Müsste ich für U + V alle 6 Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen und die linear unabhängigen würden die Basis bilden?
Und für U geschnitten V müsste ich ja gemeinsame Vektoren finden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [mm]v_1, v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] sind ja linear unabhängig. Also wäre das
> schon mal die Basis von U.
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> Die Basis von V müsste ja [mm]v_4, v_5[/mm] und [mm]v_6[/mm] sein, weil die
> auch alle linear unabhängig sind. Kommt mir etwas komisch
> vor, dass bei beiden nichts rausfällt, aber hab bei Gauß
> auch keine Möglichkeit gefunden eine Nullzeile zu machen.
>
> Wäre das richtig erstmal?
Hallo,
nachgerechnet habe ich das nicht, aber wenn sie linear unabhängig sind, dann sind sie jeweils eine Basis.
> Müsste ich für U + V alle 6 Vektoren auf lineare
> Unabhängigkeit prüfen
(Daß die 6 nicht linear unabhängig sein können, ist ja eigentlich klar.)
> und die linear unabhängigen würden
> die Basis bilden?
Ja, Du schaust Dir den Rang der entstehenden Matrix an und pickst Dir dann die entsprechende Anzahl linear unabhängiger Vektoren heraus.
>
> Und für U geschnitten V müsste ich ja gemeinsame Vektoren
> finden.
Kommt jetzt darauf an, was Du damit meinst.
Du mußt schauen, wie die Vektoren, die man als Linearkombination sowohl der einen als auch der anderen Menge schreiben kann, gemacht sind, also eine Basis für diese finden.
(Im Prinzip geht das so wie in der Schule, wo Du Ebenen zum Schnitt gebracht hast.)
Gruß v. Angela
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So, hatte nun für die Basis von U + V [mm] v_1,v_2,v_3,v_4 [/mm] und [mm] v_6 [/mm] raus. Ist nur ein Vektor abhängig.
Aber wie meinst du das genau, dass man den Schnitt wie mit den Ebenen erhalten kann. Setzt man die beiden Unterräume gleich?
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> So, hatte nun für die Basis von U + V [mm]v_1,v_2,v_3,v_4[/mm] und
> [mm]v_6[/mm] raus. Ist nur ein Vektor abhängig.
Hallo,
ja, richtig.
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> Aber wie meinst du das genau, dass man den Schnitt wie mit
> den Ebenen erhalten kann. Setzt man die beiden Unterräume
> gleich?
Ja, so kann man es machen.
Hier hilft auch noch eine andere Überlegung: aus dem Satz, der was über die Dimensionen von Schnitt und Summe erzählt, kennst Du jetzt ja bereits die Dimension des Schnittes.
Diese Information kannst Du hier auch gut verwenden. Du kommst dann mit Denken aus und mußt nichts rechnen.
Gruß v. Angela
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Dimensionssatz wäre ja
Dim(V+U)= Dim(V) + Dim(U) - Dim(V [mm] \cap [/mm] U)
Das könnte man auch einfach umstellen
Dim(V [mm] \cap [/mm] U)= Dim(V) + Dim(U) - Dim(V+U)
Aber das würde ja nun auf Dim(V [mm] \cap [/mm] U) = 1 kommen.
Was heißt das nun? Dann wäre ja ein Vektor im Schnitt enthalten. Aber der Nullvektor ist damit nicht gemeint, oder?
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> Dimensionssatz wäre ja
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> Dim(V+U)= Dim(V) + Dim(U) - Dim(V [mm]\cap[/mm] U)
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> Das könnte man auch einfach umstellen
>
>
> Dim(V [mm]\cap[/mm] U)= Dim(V) + Dim(U) - Dim(V+U)
>
> Aber das würde ja nun auf Dim(V [mm]\cap[/mm] U) = 1 kommen.
Hallo,
ja, so ist es.
> Was heißt das nun? Dann wäre ja ein Vektor im Schnitt
> enthalten.
> Aber der Nullvektor ist damit nicht gemeint,
> oder?
Der Nullvektor ist ja in jedem Schnitt enthalten.
Dimension 1 bedeutet doch, daß jede Basis des Schnittes aus einem Elediement besteht.
(Der Nullvektor ist natürlich keine Basis. Er ist ja linear abhängig.)
Vielleicht fällt Dir ja ein Grund ein dafür, daß [mm] v_5 [/mm] eine Basis des Schnittes ist.
Gruß v. Angela
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[mm] v_5 [/mm] war ja linear abhängig in U + V. Damit wäre ja ein Vektor in der Form von [mm] v_5 [/mm] auch alleine mit U erzeugbar, oder? Und in V ist er ja eh enthalten.
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> [mm]v_5[/mm] war ja linear abhängig in U + V. Damit wäre ja ein
> Vektor in der Form von [mm]v_5[/mm] auch alleine mit U erzeugbar,
> oder? Und in V ist er ja eh enthalten.
Hallo,
mir fällt gerade auf, daß mein Tip Müll war.
Das mit der Dimension stimmt zwar, aber der Vektor [mm] v_5 [/mm] war ein Schnellsch(l)uß.
Gruß v. Angela
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Wie könnte man das genau machen, um die Basis vom Schnitt zu ermitteln?
Würden das immer welche von den linear abhängigen Vektoren sein? Dann müsste es ja in diesem Fall [mm] v_4 [/mm] sein, wenn es [mm] v_5 [/mm] nicht ist.
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> Wie könnte man das genau machen, um die Basis vom Schnitt
> zu ermitteln?
Hallo,
ich würde es nun doch ausrechnen, also die Gleichung [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=b_4v_4+b_5v-5+b_6v_6 [/mm] lösen.
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> Würden das immer welche von den linear abhängigen Vektoren
> sein? Dann müsste es ja in diesem Fall [mm]v_4[/mm] sein, wenn es
> [mm]v_5[/mm] nicht ist.
Ist Dir klar, daß es nicht unbedingt einer der 6 Vektoren sein muß?
(Denk wieder an Schnitte von Ebenen: die Schnittgerade ist nicht unbedingt in die Richtung eines der vier Richtungsvektoren.)
Gruß v. Angela
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