bestimmt divergent, a_n *b_n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent mit [mm] a:=lima_n [/mm] >0 und [mm] (b_n) [/mm] betsimmt divergent gegen [mm] +\infty, [/mm] dann ist [mm] (a_n [/mm] * [mm] b_n) [/mm] bestimmt divergent gegen + [mm] \infty.
[/mm]
Gilt die Aussage auch im Fall a=0? |
Hallo zusammen,
[mm] (a_n) [/mm] konv gegen a
[mm] \forall \epsilon>0 \exists N_1 \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge N_1: |a_n [/mm] -a| < [mm] \epsilon
[/mm]
mit a>0
Da [mm] a_n [/mm] konvergent ist -> [mm] a_n [/mm] beschränkt: [mm] \exists K_1 [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: |a_n| \le K_1
[/mm]
Ich weiß auch da a>0 ist, dass es ein n gibt sodass ab dieses Index alle [mm] a_n [/mm] >0 sind.
[mm] (b_n) [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] \infty
[/mm]
[mm] \forall K_2 \in \IR \exists N_2 \in \IN: b_n [/mm] > [mm] K_1 \forall [/mm] n [mm] \ge N_2
[/mm]
ZZ.: [mm] \forall K_3 \in \IR \exists N_3 \in [/mm] IN: [mm] a_n b_n [/mm] > [mm] K_3 \forall [/mm] n [mm] \ge N_3
[/mm]
Ich krieg das nicht hin, hat wer einen Rat?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
> Ist [mm](a_n)[/mm] konvergent mit [mm]a:=lima_n[/mm] >0 und [mm](b_n)[/mm] betsimmt
> divergent gegen [mm]+\infty,[/mm] dann ist [mm](a_n[/mm] * [mm]b_n)[/mm] bestimmt
> divergent gegen + [mm]\infty.[/mm]
> Gilt die Aussage auch im Fall a=0?
> Hallo zusammen,
>
> [mm](a_n)[/mm] konv gegen a
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists N_1 \in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge N_1: |a_n[/mm]
> -a| < [mm]\epsilon[/mm]
> mit a>0
> Da [mm]a_n[/mm] konvergent ist -> [mm]a_n[/mm] beschränkt: [mm]\exists K_1[/mm] >0
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: |a_n| \le K_1[/mm]
> Ich weiß auch da a>0
> ist, dass es ein n gibt sodass ab dieses Index alle [mm]a_n[/mm] >0
> sind.
Das wird nicht reichen !
>
> [mm](b_n)[/mm] bestimmt divergent gegen [mm]\infty[/mm]
> [mm]\forall K_2 \in \IR \exists N_2 \in \IN: b_n[/mm] > [mm]K_1 \forall[/mm]
> n [mm]\ge N_2[/mm]
>
> ZZ.: [mm]\forall K_3 \in \IR \exists N_3 \in[/mm] IN: [mm]a_n b_n[/mm] > [mm]K_3 \forall[/mm]
> n [mm]\ge N_3[/mm]
>
> Ich krieg das nicht hin, hat wer einen Rat?
Da [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert und a>0 ist, gibt es ein [mm] m_1 \in \IN [/mm] mit
[mm] a_n \ge \bruch{a}{2} [/mm] für alle n [mm] \ge m_1
[/mm]
Wegen [mm] $b_n \to [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] gibt es ein [mm] m_2 \in \IN [/mm] mit
[mm] b_n [/mm] >0 für alle n [mm] \ge m_2.
[/mm]
So, nun geben wir ein K>0 vor und müssen zeigen: es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
(*) [mm] a_nb_n>K [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Zunächst gibt es ein [mm] m_3 \in \IN [/mm] mit
[mm] b_n >\bruch{2K}{a} [/mm] für alle n [mm] \ge m_3.
[/mm]
Wie musst Du nun N wählen, damit (*) gilt ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred,
Auf so was geschicktes wäre ich nicht gekommen. Hast du da einen Trick wie du durch die Hintertür auf die Schritte kommst?
> Wie musst Du nun N wählen, damit (*) gilt ?
N [mm] \ge Max\{m_1,m_2,m_3\}
[/mm]
Danke für die Hilfe,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mi 12.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Auf so was geschicktes wäre ich nicht gekommen. Hast du
> da einen Trick wie du durch die Hintertür auf die Schritte
> kommst?
Darauf kommen nur Bewohner von Steintal und wie wir alle wissen
ist Freddy FRED Feuerstein einer davon.
Fred liebt Abschätzungen und dahinter steckt viel Übung und vor
Allem Erfahrung. Gewöhne dich dran. 
> [mm] N\ge Max\{m_1,m_2,m_3\}
[/mm]
Richtig.
Gilt die Aussage auch im Fall [mm] $a=0\$? [/mm] Tipp: Gegenbeispiel!
|
|
|
|
